Algèbre Exemples

$\frac{a}{x + a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a + b}{x + c}$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x + a, x - b, x + c$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 1.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 1.5

Le facteur pour $x + a$ est $x + a$ lui-même.

$(x + a) = x + a$

$(x + a)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.6

Le facteur pour $x - b$ est $x - b$ lui-même.

$(x - b) = x - b$

$(x - b)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.7

Le facteur pour $x + c$ est $x + c$ lui-même.

$(x + c) = x + c$

$(x + c)$ se produit $1$ fois.

Étape 1.8

Le plus petit multiple commun de $x + a, x - b, x + c$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x + a) (x - b) (x + c)$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{a}{x + a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a + b}{x + c}$ par $(x + a) (x - b) (x + c)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{a}{x + a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a + b}{x + c}$ par $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$\frac{a}{x + a} ((x + a) (x - b) (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x + a$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $x + a$ à partir de $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$\frac{a}{x + a} ((x + a) ((x - b) (x + c))) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{a}{x + a} ((x + a) ((x - b) (x + c))) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$a ((x - b) (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.2

Développez $(x - b) (x + c)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$a (x (x + c) - b (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$a (x \cdot x + x c - b (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$a (x \cdot x + x c - b x - b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$a (x^{2} + x c - b x - b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} + a (x c) + a (- b x) + a (- b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.2.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a x^{2} + a x c - a b x + a (- b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.6

Annulez le facteur commun de $x - b$ .

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Étape 2.2.1.6.1

Factorisez $x - b$ à partir de $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + \frac{b}{x - b} ((x - b) ((x + a) (x + c))) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + \frac{b}{x - b} ((x - b) ((x + a) (x + c))) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b ((x + a) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.7

Développez $(x + a) (x + c)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x (x + c) + a (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x \cdot x + x c + a (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x \cdot x + x c + a x + a c) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.8

Multipliez $x$ par $x$ .

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x^{2} + x c + a x + a c) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b (x c) + b (a x) + b (a c) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.1.10

Supprimez les parenthèses.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b x c + b a x + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.2

Associez les termes opposés dans $a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b x c + b a x + b a c$ .

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Étape 2.2.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $- a b x$ et $b a x$ .

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b x c + a b x + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $- a b x$ et $a b x$ .

$a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c + 0 + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c$ et $0$ .

$a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.2.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $- a b c$ et $b a c$ .

$a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c + a b c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.2.5

Additionnez $- a b c$ et $a b c$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c + 0 = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.2.2.6

Additionnez $a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c$ et $0$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun de $x + c$ .

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Étape 2.3.1.1

Factorisez $x + c$ à partir de $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = \frac{a + b}{x + c} ((x + c) ((x + a) (x - b)))$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = \frac{a + b}{x + c} ((x + c) ((x + a) (x - b)))$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) ((x + a) (x - b))$

Étape 2.3.2

Développez $(x + a) (x - b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x (x - b) + a (x - b))$

Étape 2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x \cdot x + x (- b) + a (x - b))$

Étape 2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x \cdot x + x (- b) + a x + a (- b))$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x^{2} + x (- b) + a x + a (- b))$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x^{2} - x b + a x + a (- b))$

Étape 2.3.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x^{2} - x b + a x - a b)$

Étape 2.3.4

Développez $(a + b) (x^{2} - x b + a x - a b)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a (- x b) + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (a x) + b (- a b)$

Étape 2.3.5

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.5.1

Associez les termes opposés dans $a x^{2} + a (- x b) + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (a x) + b (- a b)$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $a (- x b)$ et $b (a x)$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} - a b x + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + a b x + b (- a b)$

Étape 2.3.5.1.2

Additionnez $- a b x$ et $a b x$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + 0 + b (- a b)$

Étape 2.3.5.1.3

Additionnez $a x^{2} + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b)$ et $0$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.2.1.1

Déplacez $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a \cdot a x + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Étape 2.3.5.2.1.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Étape 2.3.5.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a (a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Étape 2.3.5.2.3

Multipliez $a$ par $a$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.2.3.1

Déplacez $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - (a \cdot a) b + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Étape 2.3.5.2.3.2

Multipliez $a$ par $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Étape 2.3.5.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b (x b) + b (- a b)$

Étape 2.3.5.2.5

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.2.5.1

Déplacez $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - (b \cdot b) x + b (- a b)$

Étape 2.3.5.2.5.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x + b (- a b)$

Étape 2.3.5.2.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b (a b)$

Étape 2.3.5.2.7

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.2.7.1

Déplacez $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - (b \cdot b) a$

Étape 2.3.5.2.7.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b^{2} a$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $a x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} = a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b^{2} a$

Étape 3.1.2

Soustrayez $a^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x = - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b^{2} a$

Étape 3.1.3

Soustrayez $b x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x - b x^{2} = - a^{2} b - b^{2} x - b^{2} a$

Étape 3.1.4

Ajoutez $b^{2} x$ aux deux côtés de l’équation.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Étape 3.1.5

Associez les termes opposés dans $a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x$ .

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Étape 3.1.5.1

Soustrayez $a x^{2}$ de $a x^{2}$ .

$a x c + b x^{2} + b x c + 0 - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Étape 3.1.5.2

Additionnez $a x c + b x^{2} + b x c$ et $0$ .

$a x c + b x^{2} + b x c - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Étape 3.1.5.3

Soustrayez $b x^{2}$ de $b x^{2}$ .

$a x c + b x c - a^{2} x + 0 + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Étape 3.1.5.4

Additionnez $a x c + b x c - a^{2} x$ et $0$ .

$a x c + b x c - a^{2} x + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Étape 3.2

Factorisez $x$ à partir de $a x c + b x c - a^{2} x + b^{2} x$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $a x c$ .

$x (a c) + b x c - a^{2} x + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Étape 3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $b x c$ .

$x (a c) + x (b c) - a^{2} x + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Étape 3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- a^{2} x$ .

$x (a c) + x (b c) + x (- a^{2}) + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Étape 3.2.4

Factorisez $x$ à partir de $b^{2} x$ .

$x (a c) + x (b c) + x (- a^{2}) + x b^{2} = - a^{2} b - b^{2} a$

Étape 3.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (a c) + x (b c)$ .

$x (a c + b c) + x (- a^{2}) + x b^{2} = - a^{2} b - b^{2} a$

Étape 3.2.6

Factorisez $x$ à partir de $x (a c + b c) + x (- a^{2})$ .

$x (a c + b c - a^{2}) + x b^{2} = - a^{2} b - b^{2} a$

Étape 3.2.7

Factorisez $x$ à partir de $x (a c + b c - a^{2}) + x b^{2}$ .

$x (a c + b c - a^{2} + b^{2}) = - a^{2} b - b^{2} a$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $x (a c + b c - a^{2} + b^{2}) = - a^{2} b - b^{2} a$ par $a c + b c - a^{2} + b^{2}$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $x (a c + b c - a^{2} + b^{2}) = - a^{2} b - b^{2} a$ par $a c + b c - a^{2} + b^{2}$ .

$\frac{x (a c + b c - a^{2} + b^{2})}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} = \frac{- a^{2} b}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} + \frac{- b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $a c + b c - a^{2} + b^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (a c + b c - a^{2} + b^{2})}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} = \frac{- a^{2} b}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} + \frac{- b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- a^{2} b}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} + \frac{- b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- a^{2} b - b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Factorisez $a b$ à partir de $- a^{2} b - b^{2} a$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Factorisez $a b$ à partir de $- a^{2} b$ .

$x = \frac{a b (- a) - b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Étape 3.3.3.2.2

Factorisez $a b$ à partir de $- b^{2} a$ .

$x = \frac{a b (- a) + a b (- b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Étape 3.3.3.2.3

Factorisez $a b$ à partir de $a b (- a) + a b (- b)$ .

$x = \frac{a b (- a - b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Étape 3.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$x = \frac{a b (- (a) - b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Étape 3.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- b$ .

$x = \frac{a b (- (a) - (b))}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Étape 3.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a) - (b)$ .

$x = \frac{a b (- (a + b))}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Étape 3.3.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.6.1

Réécrivez $- (a + b)$ comme $- 1 (a + b)$ .

$x = \frac{a b (- 1 (a + b))}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Étape 3.3.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{(a b) (a + b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$