Algèbre Exemples

$(2 x + 1 - \frac{1}{1 - 2 x}) \div (2 x - \frac{4 x^{2}}{2 x - 1})$

Étape 1

Réécrivez la division comme une fraction.

$\frac{2 x + 1 - \frac{1}{1 - 2 x}}{2 x - \frac{4 x^{2}}{2 x - 1}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $(1 - 2 x) (2 x - 1)$ .

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{2 x + 1 - \frac{1}{1 - 2 x}}{2 x - \frac{4 x^{2}}{2 x - 1}}$ par $\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1)}{(1 - 2 x) (2 x - 1)}$ .

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1)}{(1 - 2 x) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 x + 1 - \frac{1}{1 - 2 x}}{2 x - \frac{4 x^{2}}{2 x - 1}}$

Étape 2.2

Associez.

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x + 1 - \frac{1}{1 - 2 x})}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x - \frac{4 x^{2}}{2 x - 1})}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (2 x - 1) \cdot 1 + (1 - 2 x) (2 x - 1) (- \frac{1}{1 - 2 x})}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (2 x - 1) (- \frac{4 x^{2}}{2 x - 1})}$

Étape 4

Simplifiez en annulant.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $1 - 2 x$ .

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Étape 4.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{1 - 2 x}$ dans le numérateur.

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (2 x - 1) \cdot 1 + (1 - 2 x) (2 x - 1) \frac{- 1}{1 - 2 x}}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (2 x - 1) (- \frac{4 x^{2}}{2 x - 1})}$

Étape 4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (2 x - 1) \cdot 1 + (1 - 2 x) (2 x - 1) \frac{- 1}{1 - 2 x}}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (2 x - 1) (- \frac{4 x^{2}}{2 x - 1})}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (2 x - 1) \cdot 1 + (2 x - 1) \cdot - 1}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (2 x - 1) (- \frac{4 x^{2}}{2 x - 1})}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $2 x - 1$ .

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Étape 4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 x^{2}}{2 x - 1}$ dans le numérateur.

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (2 x - 1) \cdot 1 + (2 x - 1) \cdot - 1}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (2 x - 1) \frac{- 4 x^{2}}{2 x - 1}}$

Étape 4.2.2

Factorisez $2 x - 1$ à partir de $(1 - 2 x) (2 x - 1)$ .

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (2 x - 1) \cdot 1 + (2 x - 1) \cdot - 1}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (2 x - 1) (1 - 2 x) \frac{- 4 x^{2}}{2 x - 1}}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (2 x - 1) \cdot 1 + (2 x - 1) \cdot - 1}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (2 x - 1) (1 - 2 x) \frac{- 4 x^{2}}{2 x - 1}}$

Étape 4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (2 x - 1) \cdot 1 + (2 x - 1) \cdot - 1}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $2 x - 1$ à partir de $(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (2 x - 1) \cdot 1 + (2 x - 1) \cdot - 1$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $2 x - 1$ à partir de $(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x)$ .

$\frac{(2 x - 1) ((1 - 2 x) (2 x)) + (1 - 2 x) (2 x - 1) \cdot 1 + (2 x - 1) \cdot - 1}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5.1.2

Factorisez $2 x - 1$ à partir de $(1 - 2 x) (2 x - 1) \cdot 1$ .

$\frac{(2 x - 1) ((1 - 2 x) (2 x)) + (2 x - 1) ((1 - 2 x) \cdot 1) + (2 x - 1) \cdot - 1}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5.1.3

Factorisez $2 x - 1$ à partir de $(2 x - 1) \cdot - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) ((1 - 2 x) (2 x)) + (2 x - 1) ((1 - 2 x) \cdot 1) + (2 x - 1) (- 1)}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5.1.4

Factorisez $2 x - 1$ à partir de $(2 x - 1) ((1 - 2 x) (2 x)) + (2 x - 1) ((1 - 2 x) \cdot 1)$ .

$\frac{(2 x - 1) ((1 - 2 x) (2 x) + (1 - 2 x) \cdot 1) + (2 x - 1) (- 1)}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5.1.5

Factorisez $2 x - 1$ à partir de $(2 x - 1) ((1 - 2 x) (2 x) + (1 - 2 x) \cdot 1) + (2 x - 1) (- 1)$ .

$\frac{(2 x - 1) ((1 - 2 x) (2 x) + (1 - 2 x) \cdot 1 - 1)}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x - 1) (1 (2 x) - 2 x (2 x) + (1 - 2 x) \cdot 1 - 1)}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5.3

Multipliez $2 x$ par $1$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x - 2 x (2 x) + (1 - 2 x) \cdot 1 - 1)}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(2 x - 1) (2 x - 2 \cdot 2 x \cdot x + (1 - 2 x) \cdot 1 - 1)}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x - 2 \cdot 2 (x \cdot x) + (1 - 2 x) \cdot 1 - 1)}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x - 2 \cdot 2 x^{2} + (1 - 2 x) \cdot 1 - 1)}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5.5.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x - 4 x^{2} + (1 - 2 x) \cdot 1 - 1)}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5.6

Multipliez $1 - 2 x$ par $1$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x - 4 x^{2} + 1 - 2 x - 1)}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5.7

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{(2 x - 1) (- 4 x^{2} + 1 + 0 - 1)}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5.8

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (- 4 x^{2} + 1 - 1)}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5.9

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{(2 x - 1) (- 4 x^{2} + 0)}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 5.10

Additionnez $- 4 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot - 4 x^{2}}{(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Factorisez $(1 - 2 x) \cdot 2 x$ à partir de $(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $(1 - 2 x) \cdot 2 x$ à partir de $(1 - 2 x) (2 x - 1) (2 x)$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot - 4 x^{2}}{(1 - 2 x) \cdot 2 x (2 x - 1) + (1 - 2 x) (- 4 x^{2})}$

Étape 6.1.2

Factorisez $(1 - 2 x) \cdot 2 x$ à partir de $(1 - 2 x) (- 4 x^{2})$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot - 4 x^{2}}{(1 - 2 x) \cdot 2 x (2 x - 1) + (1 - 2 x) \cdot 2 x (- 2 x)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $(1 - 2 x) \cdot 2 x$ à partir de $(1 - 2 x) \cdot 2 x (2 x - 1) + (1 - 2 x) \cdot 2 x (- 2 x)$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot - 4 x^{2}}{(1 - 2 x) \cdot 2 x (2 x - 1 - 2 x)}$

Étape 6.2

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot - 4 x^{2}}{(1 - 2 x) \cdot 2 x (0 - 1)}$

Étape 6.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot - 4 x^{2}}{(1 - 2 x) \cdot 2 x \cdot - 1}$

Étape 6.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{(2 x - 1) \cdot - 4 x^{2}}{(1 - 2 x) \cdot - 2 x}$

Étape 7

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $- 2$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $(2 x - 1) \cdot - 4 x^{2}$ .

$\frac{- 2 ((2 x - 1) \cdot 2 x^{2})}{(1 - 2 x) \cdot - 2 x}$

Étape 7.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $(1 - 2 x) \cdot - 2 x$ .

$\frac{- 2 ((2 x - 1) \cdot 2 x^{2})}{- 2 ((1 - 2 x) x)}$

Étape 7.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 ((2 x - 1) \cdot 2 x^{2})}{- 2 ((1 - 2 x) x)}$

Étape 7.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 x - 1) \cdot 2 x^{2}}{(1 - 2 x) x}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $x$ à partir de $(2 x - 1) \cdot 2 x^{2}$ .

$\frac{x ((2 x - 1) \cdot 2 x)}{(1 - 2 x) x}$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $(1 - 2 x) x$ .

$\frac{x ((2 x - 1) \cdot 2 x)}{x (1 - 2 x)}$

Étape 7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x ((2 x - 1) \cdot 2 x)}{x (1 - 2 x)}$

Étape 7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 x - 1) \cdot 2 x}{1 - 2 x}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $2 x - 1$ et $1 - 2 x$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x$ .

$\frac{(- (- 2 x) - 1) \cdot 2 x}{1 - 2 x}$

Étape 7.3.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (- 2 x) - 1 (1)) \cdot 2 x}{1 - 2 x}$

Étape 7.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (- 2 x + 1) \cdot 2 x}{1 - 2 x}$

Étape 7.3.4

Réécrivez $- (- 2 x + 1)$ comme $- 1 (- 2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (- 2 x + 1) \cdot 2 x}{1 - 2 x}$

Étape 7.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (- 2 x + 1) \cdot 2 x}{- 2 x + 1}$

Étape 7.3.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (- 2 x + 1) \cdot 2 x}{- 2 x + 1}$

Étape 7.3.7

Divisez $- 1 \cdot 2 x$ par $1$ .

$- 1 \cdot 2 x$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 x$