Algèbre Exemples

$\csc (θ) = \sqrt{1 + {(- \frac{12}{5})}^{2}}$

Étape 1

Simplifiez $\sqrt{1 + {(- \frac{12}{5})}^{2}}$ .

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Étape 1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{12}{5}$ .

$\csc (θ) = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{12}{5})}^{2}}$

Étape 1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{12}{5}$ .

$\csc (θ) = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} \frac{12^{2}}{5^{2}}}$

Étape 1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\csc (θ) = \sqrt{1 + 1 \frac{12^{2}}{5^{2}}}$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{12^{2}}{5^{2}}$ par $1$ .

$\csc (θ) = \sqrt{1 + \frac{12^{2}}{5^{2}}}$

Étape 1.4

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$\csc (θ) = \sqrt{1 + \frac{144}{5^{2}}}$

Étape 1.5

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\csc (θ) = \sqrt{1 + \frac{144}{25}}$

Étape 1.6

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\csc (θ) = \sqrt{\frac{25}{25} + \frac{144}{25}}$

Étape 1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\csc (θ) = \sqrt{\frac{25 + 144}{25}}$

Étape 1.8

Additionnez $25$ et $144$ .

$\csc (θ) = \sqrt{\frac{169}{25}}$

Étape 1.9

Réécrivez $\sqrt{\frac{169}{25}}$ comme $\frac{\sqrt{169}}{\sqrt{25}}$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{25}}$

Étape 1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.10.1

Réécrivez $169$ comme $13^{2}$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{13^{2}}}{\sqrt{25}}$

Étape 1.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\csc (θ) = \frac{13}{\sqrt{25}}$

Étape 1.11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.11.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\csc (θ) = \frac{13}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 1.11.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\csc (θ) = \frac{13}{5}$

Étape 2

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la cosécante.

$θ = arccsc (\frac{13}{5})$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

Évaluez $arccsc (\frac{13}{5})$ .

$θ = 0.39479111$

Étape 4

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = (3.14159265) - 0.39479111$

Étape 5

Résolvez $θ$ .

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Étape 5.1

Supprimez les parenthèses.

$θ = 3.14159265 - 0.39479111$

Étape 5.2

Supprimez les parenthèses.

$θ = (3.14159265) - 0.39479111$

Étape 5.3

Soustrayez $0.39479111$ de $3.14159265$ .

$θ = 2.74680153$

Étape 6

Déterminez la période de $\csc (θ)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7

La période de la fonction $\csc (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = 0.39479111 + 2 π n, 2.74680153 + 2 π n$ , pour tout entier $n$