Algèbre Exemples

$x^{2} - 18 x + 209 = 2 x + 11$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 18 x + 209 - 2 x = 11$

Étape 1.2

Soustrayez $11$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 18 x + 209 - 2 x - 11 = 0$

Étape 2

Simplifiez $x^{2} - 18 x + 209 - 2 x - 11$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $2 x$ de $- 18 x$ .

$x^{2} - 20 x + 209 - 11 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $11$ de $209$ .

$x^{2} - 20 x + 198 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 20$ et $c = 198$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 198)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 20$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 1 \cdot 198}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 198$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 198}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $198$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 792}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Soustrayez $792$ de $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 392}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Réécrivez $- 392$ comme $- 1 (392)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 392}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (392)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{392}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{392}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{392}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $392$ comme $14^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.1.7.1

Factorisez $196$ à partir de $392$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{196 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7.2

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{14^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (14 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.9

Déplacez $14$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{20 \pm 14 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{20 \pm 14 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{20 \pm 14 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 10 \pm 7 i \sqrt{2}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 20$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 1 \cdot 198}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 198$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 198}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $198$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 792}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $792$ de $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 392}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 392$ comme $- 1 (392)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 392}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (392)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{392}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{392}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{392}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $392$ comme $14^{2} \cdot 2$ .

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Étape 6.1.7.1

Factorisez $196$ à partir de $392$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{196 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.7.2

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{14^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (14 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.9

Déplacez $14$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{20 \pm 14 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{20 \pm 14 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{20 \pm 14 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 10 \pm 7 i \sqrt{2}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 10 + 7 i \sqrt{2}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 20$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 1 \cdot 198}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 198$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 198}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $198$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 792}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $792$ de $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 392}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $- 392$ comme $- 1 (392)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 392}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (392)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{392}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{392}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{392}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.7

Réécrivez $392$ comme $14^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.1.7.1

Factorisez $196$ à partir de $392$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{196 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.7.2

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{14^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (14 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.9

Déplacez $14$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{20 \pm 14 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{20 \pm 14 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{20 \pm 14 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 10 \pm 7 i \sqrt{2}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 10 - 7 i \sqrt{2}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 10 + 7 i \sqrt{2}, 10 - 7 i \sqrt{2}$