Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} - 12 x + 32}{2 x^{3} - 18 x^{2} + 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \div \frac{x^{2} + 4 x - 5}{25 - x^{2}}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{x^{2} - 12 x + 32}{2 x^{3} - 18 x^{2} + 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} - 12 x + 32$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $32$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 8, - 4$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x^{3} - 18 x^{2} + 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} - 18 x^{2} + 40 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x^{2}) - 18 x^{2} + 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 3.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 18 x^{2}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x^{2}) + 2 x (- 9 x) + 40 x} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 3.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $40 x$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x^{2}) + 2 x (- 9 x) + 2 x (20)} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 3.1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9 x)$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x^{2} - 9 x) + 2 x (20)} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 3.1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2} - 9 x) + 2 x (20)$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x^{2} - 9 x + 20)} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 3.2

Factorisez $x^{2} - 9 x + 20$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $20$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 5, - 4$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x ((x - 5) (x - 4))} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x - 8} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} - 7 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 8, 1$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 8) (x + 1)} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x - 8$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 8) (x - 4)}{2 x (x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 8) (x + 1)} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 4}{2 x (x - 5) (x - 4)} \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1} \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{x - 4}{2 x (x - 5) (x - 4)}$ par $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1}$ .

$\frac{(x - 4) ((x + 1) (x - 1))}{2 x (x - 5) (x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 4) ((x + 1) (x - 1))}{2 x (x - 5) (x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2 x (x - 5) (x + 1)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{2 x (x - 5) (x + 1)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 1}{2 x (x - 5)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{x - 1}{2 x (x - 5)} \cdot \frac{5^{2} - x^{2}}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 7.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$\frac{x - 1}{2 x (x - 5)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{2} + 4 x - 5}$

Étape 8

Factorisez $x^{2} + 4 x - 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 5$ et dont la somme est $4$ .

$- 1, 5$

Étape 8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x - 1}{2 x (x - 5)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x - 1) (x + 5)}$

Étape 9

Simplifiez les termes.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 1}{2 x (x - 5)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x - 1) (x + 5)}$

Étape 9.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 x (x - 5)} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

Étape 9.2

Multipliez $\frac{1}{2 x (x - 5)}$ par $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x + 5}$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{2 x (x - 5) (x + 5)}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à $5 + x$ et $x + 5$ .

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Étape 9.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + 5) (5 - x)}{2 x (x - 5) (x + 5)}$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 5) (5 - x)}{2 x (x - 5) (x + 5)}$

Étape 9.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 - x}{2 x (x - 5)}$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun à $5 - x$ et $x - 5$ .

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Étape 9.4.1

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$\frac{- 1 (- 5) - x}{2 x (x - 5)}$

Étape 9.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- 1 (- 5) - (x)}{2 x (x - 5)}$

Étape 9.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 5) - (x)$ .

$\frac{- 1 (- 5 + x)}{2 x (x - 5)}$

Étape 9.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (x - 5)}{2 x (x - 5)}$

Étape 9.4.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (x - 5)}{2 x (x - 5)}$

Étape 9.4.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2 x}$

Étape 9.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2 x}$