Algèbre Exemples

$\sqrt[3]{3 x^{3} + 67} = - 5$

Étape 1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{3 x^{3} + 67}}^{3} = {(- 5)}^{3}$

Étape 2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{3 x^{3} + 67}$ comme ${(3 x^{3} + 67)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(3 x^{3} + 67)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 5)}^{3}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez ${({(3 x^{3} + 67)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 x^{3} + 67)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x^{3} + 67)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 5)}^{3}$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 x^{3} + 67)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 5)}^{3}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 x^{3} + 67)}^{1} = {(- 5)}^{3}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

$3 x^{3} + 67 = {(- 5)}^{3}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$3 x^{3} + 67 = - 125$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.1.1

Soustrayez $67$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{3} = - 125 - 67$

Étape 3.1.2

Soustrayez $67$ de $- 125$ .

$3 x^{3} = - 192$

Étape 3.2

Ajoutez $192$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{3} + 192 = 0$

Étape 3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3} + 192$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3}$ .

$3 (x^{3}) + 192 = 0$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $192$ .

$3 x^{3} + 3 \cdot 64 = 0$

Étape 3.3.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3} + 3 \cdot 64$ .

$3 (x^{3} + 64) = 0$

Étape 3.3.2

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$3 (x^{3} + 4^{3}) = 0$

Étape 3.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$3 ((x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 3.3.4

Factorisez.

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Étape 3.3.4.1

Simplifiez

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Étape 3.3.4.1.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$3 ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2})) = 0$

Étape 3.3.4.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$3 ((x + 4) (x^{2} - 4 x + 16)) = 0$

Étape 3.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Étape 3.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 3.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 3.6

Définissez $x^{2} - 4 x + 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x^{2} - 4 x + 16$ égal à $0$ .

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $x^{2} - 4 x + 16 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3

Simplifiez

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Étape 3.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 3.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.3

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.7

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.6.2.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Étape 3.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ vraie.

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$