Algèbre Exemples

${(\frac{5}{4} + \frac{5}{4} i)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Associez $\frac{5}{4}$ et $i$ .

${(\frac{5}{4} + \frac{5 i}{4})}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\frac{5}{4} + \frac{5 i}{4})}^{2}$ comme $(\frac{5}{4} + \frac{5 i}{4}) (\frac{5}{4} + \frac{5 i}{4})$ .

$(\frac{5}{4} + \frac{5 i}{4}) (\frac{5}{4} + \frac{5 i}{4})$

Étape 2

Développez $(\frac{5}{4} + \frac{5 i}{4}) (\frac{5}{4} + \frac{5 i}{4})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5}{4} (\frac{5}{4} + \frac{5 i}{4}) + \frac{5 i}{4} (\frac{5}{4} + \frac{5 i}{4})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{5 i}{4} + \frac{5 i}{4} (\frac{5}{4} + \frac{5 i}{4})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{5 i}{4} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5 i}{4}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{5 i}{4} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5 i}{4}$

Étape 3.1.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{25}{4 \cdot 4} + \frac{5}{4} \cdot \frac{5 i}{4} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5 i}{4}$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5}{4} \cdot \frac{5 i}{4} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5 i}{4}$

Étape 3.1.2

Multipliez $\frac{5}{4} \cdot \frac{5 i}{4}$ .

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{5 i}{4}$ .

$\frac{25}{16} + \frac{5 (5 i)}{4 \cdot 4} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5 i}{4}$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{25}{16} + \frac{25 i}{4 \cdot 4} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5 i}{4}$

Étape 3.1.2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{25}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5}{4} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5 i}{4}$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{5 i}{4} \cdot \frac{5}{4}$ .

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $\frac{5 i}{4}$ par $\frac{5}{4}$ .

$\frac{25}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{5 i \cdot 5}{4 \cdot 4} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5 i}{4}$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{25}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i}{4 \cdot 4} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5 i}{4}$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{25}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{5 i}{4} \cdot \frac{5 i}{4}$

Étape 3.1.4

Multipliez $\frac{5 i}{4} \cdot \frac{5 i}{4}$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $\frac{5 i}{4}$ par $\frac{5 i}{4}$ .

$\frac{25}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{5 i (5 i)}{4 \cdot 4}$

Étape 3.1.4.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{25}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i i}{4 \cdot 4}$

Étape 3.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 (i^{1} i)}{4 \cdot 4}$

Étape 3.1.4.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 (i^{1} i^{1})}{4 \cdot 4}$

Étape 3.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{25}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

Étape 3.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i^{2}}{4 \cdot 4}$

Étape 3.1.4.7

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{25}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i^{2}}{16}$

Étape 3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 \cdot - 1}{16}$

Étape 3.1.6

Multipliez $25$ par $- 1$ .

$\frac{25}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{- 25}{16}$

Étape 3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{25}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i}{16} - \frac{25}{16}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{25 - 25}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i}{16}$

Étape 3.3

Soustrayez $25$ de $25$ .

$\frac{0}{16} + \frac{25 i}{16} + \frac{25 i}{16}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0}{16} + \frac{50 i}{16}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Divisez $0$ par $16$ .

$0 + \frac{50 i}{16}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $50$ et $16$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $50 i$ .

$0 + \frac{2 (25 i)}{16}$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$0 + \frac{2 (25 i)}{2 (8)}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{2 (25 i)}{2 \cdot 8}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{25 i}{8}$

Étape 5

Additionnez $0$ et $\frac{25 i}{8}$ .

$\frac{25 i}{8}$