Algèbre Exemples

$\frac{2 x^{3} + 20 x^{2} + 32 x}{x^{2} - 7 x - 18} \cdot \frac{- 6}{6 x + 48} \div \frac{- x - 10}{x^{2} + x - 90}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{2 x^{3} + 20 x^{2} + 32 x}{x^{2} - 7 x - 18} \cdot \frac{- 6}{6 x + 48} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} + 20 x^{2} + 32 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 20 x^{2} + 32 x}{x^{2} - 7 x - 18} \cdot \frac{- 6}{6 x + 48} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 2.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $20 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (10 x) + 32 x}{x^{2} - 7 x - 18} \cdot \frac{- 6}{6 x + 48} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 2.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $32 x$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (10 x) + 2 x (16)}{x^{2} - 7 x - 18} \cdot \frac{- 6}{6 x + 48} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 2.1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (10 x)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 10 x) + 2 x (16)}{x^{2} - 7 x - 18} \cdot \frac{- 6}{6 x + 48} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 2.1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2} + 10 x) + 2 x (16)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 10 x + 16)}{x^{2} - 7 x - 18} \cdot \frac{- 6}{6 x + 48} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + 10 x + 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $16$ et dont la somme est $10$ .

$2, 8$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 x ((x + 2) (x + 8))}{x^{2} - 7 x - 18} \cdot \frac{- 6}{6 x + 48} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

$\frac{2 x (x + 2) (x + 8)}{x^{2} - 7 x - 18} \cdot \frac{- 6}{6 x + 48} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} - 7 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 9, 2$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2 x (x + 2) (x + 8)}{(x - 9) (x + 2)} \cdot \frac{- 6}{6 x + 48} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x + 48$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 x (x + 2) (x + 8)}{(x - 9) (x + 2)} \cdot \frac{- 6}{6 (x) + 48} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4.1.2

Factorisez $6$ à partir de $48$ .

$\frac{2 x (x + 2) (x + 8)}{(x - 9) (x + 2)} \cdot \frac{- 6}{6 x + 6 \cdot 8} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4.1.3

Factorisez $6$ à partir de $6 x + 6 \cdot 8$ .

$\frac{2 x (x + 2) (x + 8)}{(x - 9) (x + 2)} \cdot \frac{- 6}{6 (x + 8)} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $2 (x + 8)$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $2 (x + 8)$ à partir de $2 x (x + 2) (x + 8)$ .

$\frac{2 (x + 8) (x (x + 2))}{(x - 9) (x + 2)} \cdot \frac{- 6}{6 (x + 8)} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4.2.2

Factorisez $2 (x + 8)$ à partir de $6 (x + 8)$ .

$\frac{2 (x + 8) (x (x + 2))}{(x - 9) (x + 2)} \cdot \frac{- 6}{2 (x + 8) (3)} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 8) (x (x + 2))}{(x - 9) (x + 2)} \cdot \frac{- 6}{2 (x + 8) \cdot 3} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (x + 2)}{(x - 9) (x + 2)} \cdot \frac{- 6}{3} \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{x (x + 2)}{(x - 9) (x + 2)}$ par $\frac{- 6}{3}$ .

$\frac{x (x + 2) \cdot - 6}{(x - 9) (x + 2) \cdot 3} \cdot \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $x + 2$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 2) \cdot - 6}{(x - 9) (x + 2) \cdot 3} \cdot \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot - 6}{(x - 9) \cdot 3} \cdot \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4.5

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 4.5.1

Factorisez $3$ à partir de $x \cdot - 6$ .

$\frac{3 (x \cdot - 2)}{(x - 9) \cdot 3} \cdot \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $(x - 9) \cdot 3$ .

$\frac{3 (x \cdot - 2)}{3 \cdot (x - 9)} \cdot \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x \cdot - 2)}{3 \cdot (x - 9)} \cdot \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot - 2}{x - 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.1

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 2 \cdot x}{x - 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 4.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \cdot x}{x - 9} \cdot \frac{x^{2} + x - 90}{- x - 10}$

Étape 5

Factorisez $x^{2} + x - 90$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 90$ et dont la somme est $1$ .

$- 9, 10$

Étape 5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- \frac{2 x}{x - 9} \cdot \frac{(x - 9) (x + 10)}{- x - 10}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x - 9$ .

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Étape 6.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 x}{x - 9}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2 x}{x - 9} \cdot \frac{(x - 9) (x + 10)}{- x - 10}$

Étape 6.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{x - 9} \cdot \frac{(x - 9) (x + 10)}{- x - 10}$

Étape 6.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 x \frac{x + 10}{- x - 10}$

Étape 6.2

Associez $- 2$ et $\frac{x + 10}{- x - 10}$ .

$x \frac{- 2 (x + 10)}{- x - 10}$

Étape 6.3

Associez $x$ et $\frac{- 2 (x + 10)}{- x - 10}$ .

$\frac{x (- 2 (x + 10))}{- x - 10}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $x + 10$ et $- x - 10$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{x (- 2 (- 1 (- x) + 10))}{- x - 10}$

Étape 6.4.2

Réécrivez $10$ comme $- 1 (- 10)$ .

$\frac{x (- 2 (- 1 (- x) - 1 (- 10)))}{- x - 10}$

Étape 6.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (- 10)$ .

$\frac{x (- 2 (- 1 (- x - 10)))}{- x - 10}$

Étape 6.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- 2 (- 1 (- x - 10)))}{- x - 10}$

Étape 6.4.5

Divisez $x (- 2 \cdot (- 1))$ par $1$ .

$x (- 2 \cdot (- 1))$

Étape 6.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.5.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x \cdot 2$

Étape 6.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$2 x$