Algèbre Exemples

$(y^{4} + 8 y^{3} + 16 y^{2}) - (y^{2} + 8 y + 16)$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$y^{4} + 8 y^{3} + 16 y^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Étape 2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1

Réécrivez $y^{4}$ comme ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + 8 y^{3} + 16 y^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Étape 2.2

Réécrivez $16 y^{2}$ comme ${(4 y)}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + 8 y^{3} + {(4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Étape 2.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y)$

Étape 2.4

Réécrivez le polynôme.

${(y^{2})}^{2} + 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y) + {(4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Étape 2.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = y^{2}$ et $b = 4 y$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Étape 3

Réécrivez $y^{2} + 8 y + 16$ comme ${(y + 4)}^{2}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 4^{2})$

Étape 3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 y = 2 \cdot y \cdot 4$

Étape 3.3

Réécrivez le polynôme.

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^{2})$

Étape 3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = y$ et $b = 4$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - {(y + 4)}^{2}$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y^{2} + 4 y$ et $b = y + 4$ .

$(y^{2} + 4 y + y + 4) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$((y^{2} + 4 y) + y + 4) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Étape 5.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(y (y + 4) + 1 (y + 4)) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Étape 5.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y + 4$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - y - 1 \cdot 4)$

Étape 5.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - y - 4)$

Étape 5.5

Soustrayez $y$ de $4 y$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 3 y - 4)$

Étape 5.6

Factorisez.

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Étape 5.6.1

Factorisez $y^{2} + 3 y - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 5.6.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 5.6.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(y + 4) (y + 1) ((y - 1) (y + 4))$

Étape 5.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(y + 4) (y + 1) (y - 1) (y + 4)$

Étape 5.7

Associez les exposants.

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Étape 5.7.1

Élevez $y + 4$ à la puissance $1$ .

${(y + 4)}^{1} (y + 4) (y + 1) (y - 1)$

Étape 5.7.2

Élevez $y + 4$ à la puissance $1$ .

${(y + 4)}^{1} {(y + 4)}^{1} (y + 1) (y - 1)$

Étape 5.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(y + 4)}^{1 + 1} (y + 1) (y - 1)$

Étape 5.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(y + 4)}^{2} (y + 1) (y - 1)$