Algèbre Exemples

$3^{2 x} - 5 \cdot 3^{x} = - 6$

Étape 1

Réécrivez $3^{2 x}$ comme une élévation à une puissance.

${(3^{x})}^{2} - 5 \cdot 3^{x} = - 6$

Étape 2

Remplacez $3^{x}$ par $u$ .

$u^{2} - 5 u = - 6$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{2} - 5 u + 6 = 0$

Étape 3.2

Factorisez $u^{2} - 5 u + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 3.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 3) (u - 2) = 0$

Étape 3.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 2 = 0$

Étape 3.4

Définissez $u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $u - 3$ égal à $0$ .

$u - 3 = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 3$

Étape 3.5

Définissez $u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 3) (u - 2) = 0$ vraie.

$u = 3, 2$

Étape 4

Remplacez $u$ par $3$ dans $u = 3^{x}$ .

$3 = 3^{x}$

Étape 5

Résolvez $3 = 3^{x}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $3^{x} = 3$ .

$3^{x} = 3$

Étape 5.2

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{x} = 3^{1}$

Étape 5.3

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 1$

Étape 6

Remplacez $u$ par $2$ dans $u = 3^{x}$ .

$2 = 3^{x}$

Étape 7

Résolvez $2 = 3^{x}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez l’équation comme $3^{x} = 2$ .

$3^{x} = 2$

Étape 7.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{x}) = \ln (2)$

Étape 7.3

Développez $\ln (3^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (3) = \ln (2)$

Étape 7.4

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = \ln (2)$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 7.4.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (3) = \ln (2)$ par $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Étape 7.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 7.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Étape 7.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Étape 8

Indiquez les solutions qui rendent l’équation vraie.

$x = 1, \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 1, \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Forme décimale :

$x = 1, 0.63092975 \dots$