Algèbre Exemples

$h (x) = - \frac{2}{x - 1} - 3$

Étape 1

Écrivez $h (x) = - \frac{2}{x - 1} - 3$ comme une équation.

$y = - \frac{2}{x - 1} - 3$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - \frac{2}{y - 1} - 3$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{2}{y - 1} - 3 = x$ .

$- \frac{2}{y - 1} - 3 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$- \frac{2}{y - 1} = x + 3$

Étape 3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y - 1, 1, 1$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y - 1, 1, 1$

Étape 3.3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y - 1$

Étape 3.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{2}{y - 1} = x + 3$ par $y - 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{2}{y - 1} = x + 3$ par $y - 1$ .

$- \frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) + 3 (y - 1)$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{y - 1}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) + 3 (y - 1)$

Étape 3.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) + 3 (y - 1)$

Étape 3.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 = x (y - 1) + 3 (y - 1)$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 = x y + x \cdot - 1 + 3 (y - 1)$

Étape 3.4.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$- 2 = x y - 1 \cdot x + 3 (y - 1)$

Étape 3.4.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- 2 = x y - x + 3 (y - 1)$

Étape 3.4.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 = x y - x + 3 y + 3 \cdot - 1$

Étape 3.4.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 2 = x y - x + 3 y - 3$

Étape 3.5

Résolvez l’équation.

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $x y - x + 3 y - 3 = - 2$ .

$x y - x + 3 y - 3 = - 2$

Étape 3.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.2.1

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x y + 3 y - 3 = - 2 + x$

Étape 3.5.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x y + 3 y = - 2 + x + 3$

Étape 3.5.2.3

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$x y + 3 y = x + 1$

Étape 3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $x y + 3 y$ .

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Étape 3.5.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y x + 3 y = x + 1$

Étape 3.5.3.2

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$y x + y \cdot 3 = x + 1$

Étape 3.5.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y \cdot 3$ .

$y (x + 3) = x + 1$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $y (x + 3) = x + 1$ par $x + 3$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x + 3) = x + 1$ par $x + 3$ .

$\frac{y (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{1}{x + 3}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 3$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{1}{x + 3}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{x + 3} + \frac{1}{x + 3}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x + 1}{x + 3}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $h^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$h^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$

Étape 5

Vérifiez si $h^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$ est l’inverse de $h (x) = - \frac{2}{x - 1} - 3$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $h^{- 1} (h (x)) = x$ et $h (h^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $h^{- 1} (h (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$h^{- 1} (h (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3)$ en remplaçant la valeur de $h$ par $h^{- 1}$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{(- \frac{2}{x - 1} - 3) + 1}{(- \frac{2}{x - 1} - 3) + 3}$

Étape 5.2.3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $x - 1$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $\frac{- \frac{2}{x - 1} - 3 + 1}{- \frac{2}{x - 1} - 3 + 3}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{- \frac{2}{x - 1} - 3 + 1}{- \frac{2}{x - 1} - 3 + 3}$

Étape 5.2.3.2

Associez.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{(x - 1) (- \frac{2}{x - 1} - 3 + 1)}{(x - 1) (- \frac{2}{x - 1} - 3 + 3)}$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{(x - 1) (- \frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (- \frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.5

Simplifiez en annulant.

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x - 1}$ dans le numérateur.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{(x - 1) (\frac{- 2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (- \frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{(x - 1) (\frac{- 2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (- \frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (- \frac{2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x - 1}$ dans le numérateur.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{- 2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{- 2}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 1}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.1

Remettez dans l’ordre $x - 1$ et $1$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 - 3 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (x - 1)}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.6.2

Additionnez $- 3 \cdot (x - 1)$ et $1 \cdot (x - 1)$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 - 2 \cdot (x - 1)}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.6.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 - 2 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 5.2.6.3.1

Remettez dans l’ordre $- 2$ et $- 2 \cdot (x - 1)$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 (x - 1) - 2}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.6.3.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 (x - 1) - 2 \cdot 1}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.6.3.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x - 1) - 2 (1)$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 (x - 1 + 1)}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.6.4

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 (x + 0)}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.6.5

Additionnez $x$ et $0$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2 + (x - 1) \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2 + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.7.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2 - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2 - 3 \cdot x + 3 + (x - 1) \cdot 3}$

Étape 5.2.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2 - 3 x + 3 + x \cdot 3 - 1 \cdot 3}$

Étape 5.2.7.5

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2 - 3 x + 3 + 3 \cdot x - 1 \cdot 3}$

Étape 5.2.7.6

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2 - 3 x + 3 + 3 \cdot x - 3}$

Étape 5.2.7.7

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 3 x + 1 + 3 x - 3}$

Étape 5.2.7.8

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{0 + 1 - 3}$

Étape 5.2.7.9

Additionnez $0$ et $1$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{1 - 3}$

Étape 5.2.7.10

Soustrayez $3$ de $1$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2}$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = \frac{- 2 x}{- 2}$

Étape 5.2.8.2

Divisez $x$ par $1$ .

$h^{- 1} (- \frac{2}{x - 1} - 3) = x$

Étape 5.3

Évaluez $h (h^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$h (h^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $h (\frac{x + 1}{x + 3})$ en remplaçant la valeur de $h^{- 1}$ par $h$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{(\frac{x + 1}{x + 3}) - 1} - 3$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.1.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{x + 1}{x + 3} - 1 \cdot \frac{x + 3}{x + 3}} - 3$

Étape 5.3.3.1.2

Associez $- 1$ et $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{x + 1}{x + 3} + \frac{- (x + 3)}{x + 3}} - 3$

Étape 5.3.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{x + 1 - (x + 3)}{x + 3}} - 3$

Étape 5.3.3.1.4

Réécrivez $\frac{x + 1 - (x + 3)}{x + 3}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{x + 1 - x - 1 \cdot 3}{x + 3}} - 3$

Étape 5.3.3.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{x + 1 - x - 3}{x + 3}} - 3$

Étape 5.3.3.1.4.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{0 + 1 - 3}{x + 3}} - 3$

Étape 5.3.3.1.4.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{1 - 3}{x + 3}} - 3$

Étape 5.3.3.1.4.5

Soustrayez $3$ de $1$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{\frac{- 2}{x + 3}} - 3$

Étape 5.3.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - \frac{2}{- \frac{2}{x + 3}} - 3$

Étape 5.3.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - (2 (- \frac{x + 3}{2})) - 3$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x + 3}{2}$ dans le numérateur.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - (2 (\frac{- (x + 3)}{2})) - 3$

Étape 5.3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - (2 (\frac{- (x + 3)}{2})) - 3$

Étape 5.3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = (x + 3) - 3$

Étape 5.3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - (- x - 1 \cdot 3) - 3$

Étape 5.3.3.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = - (- x - 3) - 3$

Étape 5.3.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = x + 3 - 3$

Étape 5.3.3.7

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.3.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = 1 x + 3 - 3$

Étape 5.3.3.7.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = x + 3 - 3$

Étape 5.3.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = x + 3 - 3$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 3 - 3$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$h (\frac{x + 1}{x + 3}) = x$

Étape 5.4

Comme $h^{- 1} (h (x)) = x$ et $h (h^{- 1} (x)) = x$ , $h^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$ est l’inverse de $h (x) = - \frac{2}{x - 1} - 3$ .

$h^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x + 3}$