Algèbre Exemples

$\frac{(3^{7} \cdot 4^{7}) {(2 \cdot 5)}^{- 3} (5^{2})}{12^{7} \cdot 5^{- 1} \cdot 2^{- 4}}$

Étape 1

Placez ${(2 \cdot 5)}^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3^{7} \cdot 4^{7} \cdot 5^{2}}{12^{7} \cdot 5^{- 1} \cdot 2^{- 4} {(2 \cdot 5)}^{3}}$

Étape 2

Placez $5^{- 1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{3^{7} \cdot 4^{7} \cdot 5^{2} \cdot 5}{12^{7} \cdot 2^{- 4} {(2 \cdot 5)}^{3}}$

Étape 3

Placez $2^{- 4}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{3^{7} \cdot 4^{7} \cdot 5^{2} \cdot 5 \cdot 2^{4}}{12^{7} {(2 \cdot 5)}^{3}}$

Étape 4

Multipliez $5^{2}$ par $5$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Déplacez $5$ .

$\frac{3^{7} \cdot 4^{7} \cdot (5 \cdot 5^{2}) \cdot 2^{4}}{12^{7} {(2 \cdot 5)}^{3}}$

Étape 4.2

Multipliez $5$ par $5^{2}$ .

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Étape 4.2.1

Élevez $5$ à la puissance $1$ .

$\frac{3^{7} \cdot 4^{7} \cdot (5^{1} \cdot 5^{2}) \cdot 2^{4}}{12^{7} {(2 \cdot 5)}^{3}}$

Étape 4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{7} \cdot 4^{7} \cdot 5^{1 + 2} \cdot 2^{4}}{12^{7} {(2 \cdot 5)}^{3}}$

Étape 4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3^{7} \cdot 4^{7} \cdot 5^{3} \cdot 2^{4}}{12^{7} {(2 \cdot 5)}^{3}}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3^{7} \cdot (2^{4} \cdot {(2^{2})}^{7}) \cdot 5^{3}}{12^{7} {(2 \cdot 5)}^{3}}$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{7}$ .

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Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{7} \cdot (2^{4} \cdot 2^{2 \cdot 7}) \cdot 5^{3}}{12^{7} {(2 \cdot 5)}^{3}}$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{3^{7} \cdot (2^{4} \cdot 2^{14}) \cdot 5^{3}}{12^{7} {(2 \cdot 5)}^{3}}$

Étape 5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{7} \cdot 2^{4 + 14} \cdot 5^{3}}{12^{7} {(2 \cdot 5)}^{3}}$

Étape 5.4

Additionnez $4$ et $14$ .

$\frac{3^{7} \cdot 2^{18} \cdot 5^{3}}{12^{7} {(2 \cdot 5)}^{3}}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Appliquez la règle de produit à $2 \cdot 5$ .

$\frac{3^{7} \cdot 2^{18} \cdot 5^{3}}{12^{7} \cdot 2^{3} \cdot 5^{3}}$

Étape 6.2

Élevez $12$ à la puissance $7$ .

$\frac{3^{7} \cdot 2^{18} \cdot 5^{3}}{35831808 \cdot 2^{3} \cdot 5^{3}}$

Étape 6.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{3^{7} \cdot 2^{18} \cdot 5^{3}}{35831808 \cdot 8 \cdot 5^{3}}$

Étape 6.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{3^{7} \cdot 2^{18} \cdot 5^{3}}{35831808 \cdot 8 \cdot 125}$

Étape 6.5

Associez les exposants.

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Étape 6.5.1

Multipliez $35831808$ par $8$ .

$\frac{3^{7} \cdot 2^{18} \cdot 5^{3}}{286654464 \cdot 125}$

Étape 6.5.2

Multipliez $286654464$ par $125$ .

$\frac{3^{7} \cdot 2^{18} \cdot 5^{3}}{35831808000}$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Élevez $3$ à la puissance $7$ .

$\frac{2187 \cdot 2^{18} \cdot 5^{3}}{35831808000}$

Étape 7.2

Élevez $2$ à la puissance $18$ .

$\frac{2187 \cdot 262144 \cdot 5^{3}}{35831808000}$

Étape 7.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\frac{2187 \cdot 262144 \cdot 125}{35831808000}$

Étape 7.4

Associez les exposants.

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Étape 7.4.1

Multipliez $2187$ par $262144$ .

$\frac{573308928 \cdot 125}{35831808000}$

Étape 7.4.2

Multipliez $573308928$ par $125$ .

$\frac{71663616000}{35831808000}$

Étape 8

Divisez $71663616000$ par $35831808000$ .

$2$