Algèbre Exemples

$\frac{4 - x^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \div \frac{x^{2} + 10 x + 25}{x + 5}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{4 - x^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} - x^{2}}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 25}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 5^{2}}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $2 - x$ et $x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(2 + x) (- 1 (- 2) - x)}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(2 + x) (- 1 (- 2) - (x))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 2) - (x)$ .

$\frac{(2 + x) (- 1 (- 2 + x))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(2 + x) (- 1 (x - 2))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 + x) (- 1 (x - 2))}{x - 2} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.1.6

Divisez $(2 + x) \cdot (- 1)$ par $1$ .

$(2 + x) \cdot (- 1) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.2

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 \cdot - 1 + x \cdot - 1) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(- 2 + x \cdot - 1) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$(- 2 - 1 \cdot x) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$(- 2 - x) \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2} \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.4

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Multipliez $- 2 - x$ par $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x + 2}$ .

$\frac{(- 2 - x) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.4.2

Annulez le facteur commun à $- 2 - x$ et $x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.2.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{(- 1 (2) - x) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.4.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- 1 (2) - (x)) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.4.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (2) - (x)$ .

$\frac{- 1 (2 + x) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.4.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (x + 2) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.4.2.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (x + 2) ((x + 5) (x - 5))}{x + 2} \cdot \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.4.2.6

Divisez $- 1 ((x + 5) (x - 5))$ par $1$ .

$- 1 ((x + 5) (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 4.4.3

Réécrivez $- 1 ((x + 5) (x - 5))$ comme $- ((x + 5) (x - 5))$ .

$- ((x + 5) (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 5

Développez $(x + 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (x (x - 5) + 5 (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 5$ et $5 x$ .

$- (x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 6.1.2

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$- (x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 6.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$- (x \cdot x + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- (x^{2} + 5 \cdot - 5) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 6.2.2

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$- (x^{2} - 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 6.3

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- x^{2} - - 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 6.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 25$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 25}$

Étape 7

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Étape 7.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 7.3

Réécrivez le polynôme.

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Étape 7.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{x + 5}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Annulez le facteur commun à $x + 5$ et ${(x + 5)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Multipliez par $1$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{(x + 5) \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Étape 8.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1

Factorisez $x + 5$ à partir de ${(x + 5)}^{2}$ .

$(- x^{2} + 25) \frac{(x + 5) \cdot 1}{(x + 5) (x + 5)}$

Étape 8.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$(- x^{2} + 25) \frac{(x + 5) \cdot 1}{(x + 5) (x + 5)}$

Étape 8.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$(- x^{2} + 25) \frac{1}{x + 5}$

Étape 8.2

Multipliez $- x^{2} + 25$ par $\frac{1}{x + 5}$ .

$\frac{- x^{2} + 25}{x + 5}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{x + 5}$

Étape 9.2

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{x + 5}$

Étape 9.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

Étape 10

Annulez le facteur commun à $5 + x$ et $x + 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + 5) (5 - x)}{x + 5}$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 5) (5 - x)}{x + 5}$

Étape 10.3

Divisez $5 - x$ par $1$ .

$5 - x$