Algèbre Exemples

$\frac{{(1 + \frac{i}{2})}^{2}}{(1 + \frac{i}{2}) - 1}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{{(\frac{2}{2} + \frac{i}{2})}^{2}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(\frac{2 + i}{2})}^{2}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 + i}{2}$ .

$\frac{\frac{{(2 + i)}^{2}}{2^{2}}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{\frac{{(2 + i)}^{2}}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.5

Réécrivez ${(2 + i)}^{2}$ comme $(2 + i) (2 + i)$ .

$\frac{\frac{(2 + i) (2 + i)}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.6

Développez $(2 + i) (2 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 (2 + i) + i (2 + i)}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 + 2 i + i (2 + i)}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 + 2 i + i \cdot 2 + i i}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{4 + 2 i + i \cdot 2 + i i}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.7.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$\frac{\frac{4 + 2 i + 2 \cdot i + i i}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.7.1.3

Multipliez $i i$ .

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Étape 1.7.1.3.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{4 + 2 i + 2 i + i^{1} i}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.7.1.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{4 + 2 i + 2 i + i^{1} i^{1}}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.7.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{4 + 2 i + 2 i + i^{1 + 1}}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.7.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{4 + 2 i + 2 i + i^{2}}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.7.1.4

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{\frac{4 + 2 i + 2 i - 1}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.7.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{\frac{3 + 2 i + 2 i}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 1.7.3

Additionnez $2 i$ et $2 i$ .

$\frac{\frac{3 + 4 i}{4}}{1 + \frac{i}{2} - 1}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{3 + 4 i}{4}}{0 + \frac{i}{2}}$

Étape 2.2

Additionnez $0$ et $\frac{i}{2}$ .

$\frac{\frac{3 + 4 i}{4}}{\frac{i}{2}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{3 + 4 i}{4} \cdot \frac{2}{i}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{3 + 4 i}{2 (2)} \cdot \frac{2}{i}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 + 4 i}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{i}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 + 4 i}{2} \cdot \frac{1}{i}$

Étape 5

Multipliez $\frac{3 + 4 i}{2}$ par $\frac{1}{i}$ .

$\frac{3 + 4 i}{2 i}$

Étape 6

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{3 + 4 i}{2 i}$ par le conjugué de $2 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{3 + 4 i}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

Étape 7

Multipliez.

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Étape 7.1

Associez.

$\frac{(3 + 4 i) i}{2 i i}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 i + 4 i i}{2 i i}$

Étape 7.2.2

Multipliez $4 i i$ .

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Étape 7.2.2.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 i + 4 (i^{1} i)}{2 i i}$

Étape 7.2.2.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 i + 4 (i^{1} i^{1})}{2 i i}$

Étape 7.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 i + 4 i^{1 + 1}}{2 i i}$

Étape 7.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 i + 4 i^{2}}{2 i i}$

Étape 7.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{3 i + 4 \cdot - 1}{2 i i}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{3 i - 4}{2 i i}$

Étape 7.2.4

Remettez dans l’ordre $3 i$ et $- 4$ .

$\frac{- 4 + 3 i}{2 i i}$

Étape 7.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.1

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{- 4 + 3 i}{2 (i i)}$

Étape 7.3.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 4 + 3 i}{2 (i^{1} i)}$

Étape 7.3.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 4 + 3 i}{2 (i^{1} i^{1})}$

Étape 7.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 4 + 3 i}{2 i^{1 + 1}}$

Étape 7.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 4 + 3 i}{2 i^{2}}$

Étape 7.3.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{- 4 + 3 i}{2 \cdot - 1}$

Étape 8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 + 3 i}{- 2}$

Étape 9

Divisez la fraction $\frac{- 4 + 3 i}{- 2}$ en deux fractions.

$\frac{- 4}{- 2} + \frac{3 i}{- 2}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Divisez $- 4$ par $- 2$ .

$2 + \frac{3 i}{- 2}$

Étape 10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 - \frac{3 i}{2}$