Algèbre Exemples

$2^{x} = \frac{4^{x^{3}}}{8^{x^{2}}}$

Étape 1

Placez $8^{x^{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$2^{x} = 4^{x^{3}} \cdot 8^{- x^{2}}$

Étape 2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$2^{x} = {(2^{2})}^{x^{3}} \cdot 8^{- x^{2}}$

Étape 3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{x} = 2^{2 x^{3}} \cdot 8^{- x^{2}}$

Étape 4

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$2^{x} = 2^{2 x^{3}} \cdot {(2^{3})}^{- x^{2}}$

Étape 5

Multipliez les exposants dans ${(2^{3})}^{- x^{2}}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{x} = 2^{2 x^{3}} \cdot 2^{3 (- x^{2})}$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2^{x} = 2^{2 x^{3}} \cdot 2^{- 3 x^{2}}$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{x} = 2^{2 x^{3} - 3 x^{2}}$

Étape 7

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 2 x^{3} - 3 x^{2}$

Étape 8

Résolvez $x$ .

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Étape 8.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 x^{3} - 3 x^{2} = x$

Étape 8.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - x = 0$

Étape 8.3

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3} - 3 x^{2} - x$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$x (2 x^{2}) - 3 x^{2} - x = 0$

Étape 8.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 3 x) - x = 0$

Étape 8.3.3

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 3 x) + x \cdot - 1 = 0$

Étape 8.3.4

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{2}) + x (- 3 x)$ .

$x (2 x^{2} - 3 x) + x \cdot - 1 = 0$

Étape 8.3.5

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{2} - 3 x) + x \cdot - 1$ .

$x (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$

Étape 8.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Étape 8.5

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 8.6

Définissez $2 x^{2} - 3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 8.6.1

Définissez $2 x^{2} - 3 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Étape 8.6.2

Résolvez $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 8.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 8.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 3$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.6.2.3

Simplifiez

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Étape 8.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.6.2.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 8.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.6.2.3.1.3

Additionnez $9$ et $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Étape 8.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Étape 8.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 8.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (2 x^{2} - 3 x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{17}}{4}, \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Forme décimale :

$x = 0, 1.78077640 \dots, - 0.28077640 \dots$