Algèbre Exemples

$\sqrt[5]{x^{4}} - 3 \sqrt[5]{x^{2}} = 4$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x^{4}}$ comme $x^{\frac{4}{5}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} - 3 \sqrt[5]{x^{2}} = 4$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{5}}$ .

$x^{\frac{4}{5}} - 3 x^{\frac{2}{5}} = 4$

Étape 2

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{2}{5}}$ présent dans chaque terme.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{2} - 3 x^{\frac{2}{5}} - 4$

Étape 3

Remplacez $x^{\frac{2}{5}}$ par $u$ .

${(u)}^{2} - 3 u - 4 = 0$

Étape 4

Résolvez $u$ .

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Étape 4.1

Supprimez les parenthèses.

$u^{2} - 3 u - 4 = 0$

Étape 4.2

Factorisez $u^{2} - 3 u - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 4.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 4) (u + 1) = 0$

Étape 4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 4.4

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.4.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 4.4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 4.5

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 4.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 4) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = 4, - 1$

Étape 5

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{2}{5}} = 4, - 1$

Étape 6

Résolvez $x^{\frac{2}{5}} = 4$ pour $x$ .

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Étape 6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{5}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Étape 6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Étape 6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Étape 6.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Étape 6.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Étape 6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = \pm 4^{\frac{5}{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $\pm 4^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm 2^{2 (\frac{5}{2})}$

Étape 6.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm 2^{5}$

Étape 6.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$x = \pm 32$

Étape 6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 32$

Étape 6.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 32$

Étape 6.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 32, - 32$

Étape 7

Résolvez $x^{\frac{2}{5}} = - 1$ pour $x$ .

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Étape 7.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{5}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Étape 7.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 7.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Étape 7.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Étape 7.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Étape 7.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Étape 7.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Étape 7.2.1.1.2

Simplifiez

$x = \pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

Simplifiez $\pm {(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Réécrivez ${(- 1)}^{\frac{5}{2}}$ comme $\sqrt{{(- 1)}^{5}}$ .

$x = \pm \sqrt{{(- 1)}^{5}}$

Étape 7.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 7.2.2.1.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 7.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 7.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$x = 32, - 32, i, - i$