Algèbre Exemples

$f (x) = - x^{3} + x^{2} + x - 1$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = - x^{3} + x^{2} + x - 1$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{3} + x^{2} + x - 1 = 0$ .

$- x^{3} + x^{2} + x - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(- x^{3} + x^{2}) + x - 1 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (- x + 1) - 1 (- x + 1) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 1$ .

$(- x + 1) (x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(- x + 1) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(- x + 1) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Étape 1.2.2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(- x + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.5

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$(- (x) + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.5.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$(- (x) - 1 \cdot - 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$- (x - 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.5.4

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$- 1 (x - 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.5.5

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$- 1 ((x - 1) (x - 1)) (x + 1) = 0$

Étape 1.2.2.5.6

Élevez $x - 1$ à la puissance $1$ .

$- 1 ((x - 1) (x - 1)) (x + 1) = 0$

Étape 1.2.2.5.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 {(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1) = 0$

Étape 1.2.2.5.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 1 {(x - 1)}^{2} (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 1, - 1$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(1, 0), (- 1, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = - {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 0 - 1$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 0 - 1$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - 0^{3} + {(0)}^{2} + 0 - 1$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = - 0^{3} + 0^{2} + 0 - 1$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = - {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 0 - 1$

Étape 2.2.5

Simplifiez $- {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 0 - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = - 0 + {(0)}^{2} + 0 - 1$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 0 + {(0)}^{2} + 0 - 1$

Étape 2.2.5.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 1$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 - 1$

Étape 2.2.5.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 1$

Étape 2.2.5.2.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$y = - 1$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 1)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(1, 0), (- 1, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 1)$

Étape 4