Algèbre Exemples

${(\frac{5}{6})}^{4 x} = {(\frac{36}{25})}^{9 - x}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln ({(\frac{5}{6})}^{4 x}) = \ln ({(\frac{36}{25})}^{9 - x})$

Étape 2

Développez $\ln ({(\frac{5}{6})}^{4 x})$ en déplaçant $4 x$ hors du logarithme.

$4 x \ln (\frac{5}{6}) = \ln ({(\frac{36}{25})}^{9 - x})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{5}{6})$ comme $\ln (5) - \ln (6)$ .

$4 x (\ln (5) - \ln (6)) = \ln ({(\frac{36}{25})}^{9 - x})$

Étape 4

Réécrivez $\ln (6)$ comme $\ln (2 (3))$ .

$4 x (\ln (5) - \ln (2 (3))) = \ln ({(\frac{36}{25})}^{9 - x})$

Étape 5

Réécrivez $\ln (2 (3))$ comme $\ln (2) + \ln (3)$ .

$4 x (\ln (5) - (\ln (2) + \ln (3))) = \ln ({(\frac{36}{25})}^{9 - x})$

Étape 6

Appliquez la propriété distributive.

$4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{36}{25})}^{9 - x})$

Étape 7

Développez $\ln ({(\frac{36}{25})}^{9 - x})$ en déplaçant $9 - x$ hors du logarithme.

$4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = (9 - x) \ln (\frac{36}{25})$

Étape 8

Réécrivez $\ln (\frac{36}{25})$ comme $\ln (36) - \ln (25)$ .

$4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - \ln (25))$

Étape 9

Réécrivez $\ln (25)$ comme $\ln (5^{2})$ .

$4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - \ln (5^{2}))$

Étape 10

Développez $\ln (5^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - (2 \ln (5)))$

Étape 11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Étape 12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 12.1

Simplifiez $4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3))$ .

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Étape 12.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Étape 12.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$4 x (\ln (5) - \ln (2) - \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Étape 12.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x \ln (5) + 4 x (- \ln (2)) + 4 x (- \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Étape 12.1.4

Simplifiez

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Étape 12.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x \ln (5) + 4 \cdot - 1 x \ln (2) + 4 x (- \ln (3)) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Étape 12.1.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x \ln (5) + 4 \cdot - 1 x \ln (2) + 4 \cdot - 1 x \ln (3) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Étape 12.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.5.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) + 4 \cdot - 1 x \ln (3) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Étape 12.1.5.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) = (9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Étape 12.2

Simplifiez $(9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$ .

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Étape 12.2.1

Développez $(9 - x) (\ln (36) - 2 \ln (5))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) = 9 (\ln (36) - 2 \ln (5)) - x (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Étape 12.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) = 9 \ln (36) + 9 (- 2 \ln (5)) - x (\ln (36) - 2 \ln (5))$

Étape 12.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) = 9 \ln (36) + 9 (- 2 \ln (5)) - x \ln (36) - x (- 2 \ln (5))$

Étape 12.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.2.1

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5) - x \ln (36) - x (- 2 \ln (5))$

Étape 12.2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5) - x \ln (36) - 1 \cdot - 2 x \ln (5)$

Étape 12.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5) - x \ln (36) + 2 x \ln (5)$

Étape 12.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.3.1

Ajoutez $x \ln (36)$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) + x \ln (36) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5) + 2 x \ln (5)$

Étape 12.3.2

Soustrayez $2 x \ln (5)$ des deux côtés de l’équation.

$4 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) + x \ln (36) - 2 x \ln (5) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Étape 12.3.3

Soustrayez $2 x \ln (5)$ de $4 x \ln (5)$ .

$2 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) + x \ln (36) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Étape 12.4

Factorisez $x$ à partir de $2 x \ln (5) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) + x \ln (36)$ .

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Étape 12.4.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x \ln (5)$ .

$x (2 \ln (5)) - 4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) + x \ln (36) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Étape 12.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x \ln (2)$ .

$x (2 \ln (5)) + x (- 4 \ln (2)) - 4 x \ln (3) + x \ln (36) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Étape 12.4.3

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x \ln (3)$ .

$x (2 \ln (5)) + x (- 4 \ln (2)) + x (- 4 \ln (3)) + x \ln (36) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Étape 12.4.4

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (36)$ .

$x (2 \ln (5)) + x (- 4 \ln (2)) + x (- 4 \ln (3)) + x (\ln (36)) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Étape 12.4.5

Factorisez $x$ à partir de $x (2 \ln (5)) + x (- 4 \ln (2))$ .

$x (2 \ln (5) - 4 \ln (2)) + x (- 4 \ln (3)) + x (\ln (36)) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Étape 12.4.6

Factorisez $x$ à partir de $x (2 \ln (5) - 4 \ln (2)) + x (- 4 \ln (3))$ .

$x (2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3)) + x (\ln (36)) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Étape 12.4.7

Factorisez $x$ à partir de $x (2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3)) + x (\ln (36))$ .

$x (2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$

Étape 12.5

Divisez chaque terme dans $x (2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$ par $2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)$ et simplifiez.

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Étape 12.5.1

Divisez chaque terme dans $x (2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)) = 9 \ln (36) - 18 \ln (5)$ par $2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)$ .

$\frac{x (2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36))}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)} = \frac{9 \ln (36)}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)} + \frac{- 18 \ln (5)}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)}$

Étape 12.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)$ .

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Étape 12.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 12.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{9 \ln (36)}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)} + \frac{- 18 \ln (5)}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)}$

Étape 12.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{9 \ln (36) - 18 \ln (5)}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)}$

Étape 12.5.3.2

Factorisez $9$ à partir de $9 \ln (36) - 18 \ln (5)$ .

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Étape 12.5.3.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9 \ln (36)$ .

$x = \frac{9 \ln (36) - 18 \ln (5)}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)}$

Étape 12.5.3.2.2

Factorisez $9$ à partir de $- 18 \ln (5)$ .

$x = \frac{9 \ln (36) + 9 (- 2 \ln (5))}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)}$

Étape 12.5.3.2.3

Factorisez $9$ à partir de $9 \ln (36) + 9 (- 2 \ln (5))$ .

$x = \frac{9 (\ln (36) - 2 \ln (5))}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{9 (\ln (36) - 2 \ln (5))}{2 \ln (5) - 4 \ln (2) - 4 \ln (3) + \ln (36)}$

Forme décimale :

$x = - 9.000000000000 \dots$