Algèbre Exemples

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x^{3} + 2 x^{2} - 15 x} \div \frac{- 2}{9 - x^{2}}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x^{3} + 2 x^{2} - 15 x} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} + 2 x^{2} - 15 x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x \cdot x^{2} + 2 x^{2} - 15 x} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x \cdot x^{2} + x (2 x) - 15 x} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- 15 x$ .

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 15} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x (2 x)$ .

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 15} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 2.1.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 15$ .

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x (x^{2} + 2 x - 15)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2} + 2 x - 15$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 15$ et dont la somme est $2$ .

$- 3, 5$

Étape 2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x ((x - 3) (x + 5))} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- x - 5}{x (x - 3) (x + 5)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $- x - 5$ et $x + 5$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- (x) - 5}{x (x - 3) (x + 5)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- (x) - 1 (5)}{x (x - 3) (x + 5)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 3.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (5)$ .

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- (x + 5)}{x (x - 3) (x + 5)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 3.1.4

Réécrivez $- (x + 5)$ comme $- 1 (x + 5)$ .

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- 1 (x + 5)}{x (x - 3) (x + 5)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 3.1.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- 1 (x + 5)}{x (x - 3) (x + 5)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 3.1.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x + 3} \cdot \frac{- 1}{x (x - 3)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{x + 3} \cdot (- \frac{1}{x (x - 3)}) \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{2}{x + 3} \cdot \frac{1}{x (x - 3)} \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1}{x (x - 3)}$ par $\frac{2}{x + 3}$ .

$- \frac{2}{x (x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x (x - 3) (x + 3)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{x (x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{x (x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{9 - x^{2}}{- 2}$

Étape 3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{x (x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{9 - x^{2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{x (x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{9 - x^{2}}{2 \cdot - 1}$

Étape 3.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x (x - 3) (x + 3)} \cdot \frac{9 - x^{2}}{- 1}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{- 1}{x (x - 3) (x + 3)}$ par $\frac{9 - x^{2}}{- 1}$ .

$\frac{- (9 - x^{2})}{x (x - 3) (x + 3) \cdot - 1}$

Étape 3.6

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{9 - x^{2}}{x (x - 3) (x + 3)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3^{2} - x^{2}}{x (x - 3) (x + 3)}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3$ et $b = x$ .

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{x (x - 3) (x + 3)}$

Étape 5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun à $3 + x$ et $x + 3$ .

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Étape 5.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{x (x - 3) (x + 3)}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 3) (3 - x)}{x (x - 3) (x + 3)}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 - x}{x (x - 3)}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $3 - x$ et $x - 3$ .

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Étape 5.2.1

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- 1 (- 3) - x}{x (x - 3)}$

Étape 5.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{- 1 (- 3) - (x)}{x (x - 3)}$

Étape 5.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 3) - (x)$ .

$\frac{- 1 (- 3 + x)}{x (x - 3)}$

Étape 5.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (x - 3)}{x (x - 3)}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (x - 3)}{x (x - 3)}$

Étape 5.2.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{x}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{x}$