Algèbre Exemples

$(\sqrt[5]{\sqrt{40} - \sqrt{8}}) (\sqrt[5]{\sqrt{40} + \sqrt{8}})$

Étape 1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt[5]{(\sqrt{40} - \sqrt{8}) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Étape 2

Réécrivez $40$ comme $2^{2} \cdot 10$ .

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Étape 2.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$\sqrt[5]{(\sqrt{4 (10)} - \sqrt{8}) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Étape 2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt[5]{(\sqrt{2^{2} \cdot 10} - \sqrt{8}) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Étape 3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - \sqrt{8}) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Étape 4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - \sqrt{4 (2)}) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Étape 4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Étape 5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - (2 \sqrt{2})) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Étape 6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{40} + \sqrt{8})}$

Étape 7

Réécrivez $40$ comme $2^{2} \cdot 10$ .

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Étape 7.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{4 (10)} + \sqrt{8})}$

Étape 7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{2^{2} \cdot 10} + \sqrt{8})}$

Étape 8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{10} + \sqrt{8})}$

Étape 9

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 9.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{10} + \sqrt{4 (2)})}$

Étape 9.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{10} + \sqrt{2^{2} \cdot 2})}$

Étape 10

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt[5]{(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{2})}$

Étape 11

Développez $(2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt[5]{2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{2})}$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt[5]{2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10} + 2 \sqrt{2})}$

Étape 11.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt[5]{2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Multipliez $2 \sqrt{10} (2 \sqrt{10})$ .

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Étape 12.1.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt[5]{4 \sqrt{10} \sqrt{10} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.1.2

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt[5]{4 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}) + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.1.3

Élevez $\sqrt{10}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt[5]{4 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}) + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt[5]{4 {\sqrt{10}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt[5]{4 {\sqrt{10}}^{2} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.2

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

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Étape 12.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt[5]{4 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[5]{4 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt[5]{4 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[5]{4 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[5]{4 \cdot 10^{1} + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt[5]{4 \cdot 10 + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.3

Multipliez $4$ par $10$ .

$\sqrt[5]{40 + 2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.4

Multipliez $2 \sqrt{10} (2 \sqrt{2})$ .

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Étape 12.1.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt[5]{40 + 4 \sqrt{10} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt[5]{40 + 4 \sqrt{2 \cdot 10} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.4.3

Multipliez $2$ par $10$ .

$\sqrt[5]{40 + 4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.5

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 12.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\sqrt[5]{40 + 4 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt[5]{40 + 4 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt[5]{40 + 4 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.8

Multipliez $- 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{10})$ .

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Étape 12.1.8.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{2} \sqrt{10} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.8.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{10 \cdot 2} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.8.3

Multipliez $10$ par $2$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{20} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.9

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 12.1.9.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{4 (5)} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.9.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{2^{2} \cdot 5} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 4 (2 \sqrt{5}) - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.11

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})}$

Étape 12.1.12

Multipliez $- 2 \sqrt{2} (2 \sqrt{2})$ .

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Étape 12.1.12.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 12.1.12.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 12.1.12.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 12.1.12.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 12.1.12.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 12.1.13

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 12.1.13.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 12.1.13.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 12.1.13.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.1.13.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1.13.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 12.1.13.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 \cdot 2^{1}}$

Étape 12.1.13.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 4 \cdot 2}$

Étape 12.1.14

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\sqrt[5]{40 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5} - 8}$

Étape 12.2

Soustrayez $8$ de $40$ .

$\sqrt[5]{32 + 8 \sqrt{5} - 8 \sqrt{5}}$

Étape 12.3

Soustrayez $8 \sqrt{5}$ de $8 \sqrt{5}$ .

$\sqrt[5]{32 + 0}$

Étape 12.4

Additionnez $32$ et $0$ .

$\sqrt[5]{32}$

Étape 13

Réécrivez $32$ comme $2^{5}$ .

$\sqrt[5]{2^{5}}$

Étape 14

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$2$