Algèbre Exemples

$7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$ $x - y = 9$

Étape 1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9 + y$

$7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $9 + y$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $7 x^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$ par $9 + y$ .

$7 {(9 + y)}^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $7 {(9 + y)}^{2} + 3 y^{2} - 24 y$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez ${(9 + y)}^{2}$ comme $(9 + y) (9 + y)$ .

$7 ((9 + y) (9 + y)) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Étape 2.2.1.1.2

Développez $(9 + y) (9 + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$7 (9 (9 + y) + y (9 + y)) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Étape 2.2.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$7 (9 \cdot 9 + 9 y + y (9 + y)) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Étape 2.2.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$7 (9 \cdot 9 + 9 y + y \cdot 9 + y \cdot y) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

$7 (9 \cdot 9 + 9 y + y \cdot 9 + y \cdot y) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Étape 2.2.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.3.1.1

Multipliez $9$ par $9$ .

$7 (81 + 9 y + y \cdot 9 + y \cdot y) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Étape 2.2.1.1.3.1.2

Déplacez $9$ à gauche de $y$ .

$7 (81 + 9 y + 9 \cdot y + y \cdot y) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Étape 2.2.1.1.3.1.3

Multipliez $y$ par $y$ .

$7 (81 + 9 y + 9 y + y^{2}) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

$7 (81 + 9 y + 9 y + y^{2}) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Étape 2.2.1.1.3.2

Additionnez $9 y$ et $9 y$ .

$7 (81 + 18 y + y^{2}) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

$7 (81 + 18 y + y^{2}) + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Étape 2.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$7 \cdot 81 + 7 (18 y) + 7 y^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Étape 2.2.1.1.5

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1.5.1

Multipliez $7$ par $81$ .

$567 + 7 (18 y) + 7 y^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Étape 2.2.1.1.5.2

Multipliez $18$ par $7$ .

$567 + 126 y + 7 y^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 126 y + 7 y^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 126 y + 7 y^{2} + 3 y^{2} - 24 y = 139$

$x = 9 + y$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1.2.1

Soustrayez $24 y$ de $126 y$ .

$567 + 7 y^{2} + 3 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

Étape 2.2.1.2.2

Additionnez $7 y^{2}$ et $3 y^{2}$ .

$567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

$567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$

$x = 9 + y$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $567 + 10 y^{2} + 102 y = 139$ .

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Étape 3.1

Soustrayez $139$ des deux côtés de l’équation.

$567 + 10 y^{2} + 102 y - 139 = 0$

$x = 9 + y$

Étape 3.2

Soustrayez $139$ de $567$ .

$10 y^{2} + 102 y + 428 = 0$

$x = 9 + y$

Étape 3.3

Factorisez $2$ à partir de $10 y^{2} + 102 y + 428$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $10 y^{2}$ .

$2 (5 y^{2}) + 102 y + 428 = 0$

$x = 9 + y$

Étape 3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $102 y$ .

$2 (5 y^{2}) + 2 (51 y) + 428 = 0$

$x = 9 + y$

Étape 3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $428$ .

$2 (5 y^{2}) + 2 (51 y) + 2 (214) = 0$

$x = 9 + y$

Étape 3.3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (5 y^{2}) + 2 (51 y)$ .

$2 (5 y^{2} + 51 y) + 2 (214) = 0$

$x = 9 + y$

Étape 3.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (5 y^{2} + 51 y) + 2 (214)$ .

$2 (5 y^{2} + 51 y + 214) = 0$

$x = 9 + y$

$2 (5 y^{2} + 51 y + 214) = 0$

$x = 9 + y$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $2 (5 y^{2} + 51 y + 214) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $2 (5 y^{2} + 51 y + 214) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (5 y^{2} + 51 y + 214)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 9 + y$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 y^{2} + 51 y + 214)}{2} = \frac{0}{2}$

$x = 9 + y$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $5 y^{2} + 51 y + 214$ par $1$ .

$5 y^{2} + 51 y + 214 = \frac{0}{2}$

$x = 9 + y$

$5 y^{2} + 51 y + 214 = \frac{0}{2}$

$x = 9 + y$

$5 y^{2} + 51 y + 214 = \frac{0}{2}$

$x = 9 + y$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$5 y^{2} + 51 y + 214 = 0$

$x = 9 + y$

$5 y^{2} + 51 y + 214 = 0$

$x = 9 + y$

$5 y^{2} + 51 y + 214 = 0$

$x = 9 + y$

Étape 3.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 9 + y$

Étape 3.6

Remplacez les valeurs $a = 5$ , $b = 51$ et $c = 214$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 51 \pm \sqrt{51^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 214)}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $51$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4 \cdot 5 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot 214$ .

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Étape 3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 20 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.7.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $214$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.7.1.3

Soustrayez $4280$ de $2601$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.7.1.4

Réécrivez $- 1679$ comme $- 1 (1679)$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1679)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Étape 3.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $51$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4 \cdot 5 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot 214$ .

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Étape 3.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 20 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.8.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $214$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.8.1.3

Soustrayez $4280$ de $2601$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.8.1.4

Réécrivez $- 1679$ comme $- 1 (1679)$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.8.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1679)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.8.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Étape 3.8.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{- 51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Étape 3.8.4

Réécrivez $- 51$ comme $- 1 (51)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Étape 3.8.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{1679}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 51 - (- i \sqrt{1679})}{10}$

$x = 9 + y$

Étape 3.8.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (51) - (- i \sqrt{1679})$ .

$y = \frac{- 1 (51 - i \sqrt{1679})}{10}$

$x = 9 + y$

Étape 3.8.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Étape 3.9

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.1.1

Élevez $51$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4 \cdot 5 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.9.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot 214$ .

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Étape 3.9.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 20 \cdot 214}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.9.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $214$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{2601 - 4280}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.9.1.3

Soustrayez $4280$ de $2601$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.9.1.4

Réécrivez $- 1679$ comme $- 1 (1679)$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.9.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (1679)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}$ .

$y = \frac{- 51 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.9.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{2 \cdot 5}$

$x = 9 + y$

Étape 3.9.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$y = \frac{- 51 \pm i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Étape 3.9.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{- 51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Étape 3.9.4

Réécrivez $- 51$ comme $- 1 (51)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Étape 3.9.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{1679}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 51 - (i \sqrt{1679})}{10}$

$x = 9 + y$

Étape 3.9.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (51) - (i \sqrt{1679})$ .

$y = \frac{- 1 (51 + i \sqrt{1679})}{10}$

$x = 9 + y$

Étape 3.9.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Étape 3.10

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}, - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}, - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 + y$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 9 + y$ par $- \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$ .

$x = 9 - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

Étape 4.2

Simplifiez $x = 9 - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 9 - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez $9 - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$x = 9 \cdot \frac{10}{10} - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

Étape 4.2.2.1.2

Associez $9$ et $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{9 \cdot 10}{10} - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

Étape 4.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}$

$y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

Étape 5

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$ dans chaque équation.

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Étape 5.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = 9 + y$ par $- \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$ .

$x = 9 - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Étape 5.2

Simplifiez $x = 9 - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$ .

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 9 - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = 9 - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $9 - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$x = 9 \cdot \frac{10}{10} - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Étape 5.2.2.1.2

Associez $9$ et $\frac{10}{10}$ .

$x = \frac{9 \cdot 10}{10} - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Étape 5.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}$

$y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Étape 6

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{39 + \sqrt{1679} i}{10}, y = - \frac{51 - i \sqrt{1679}}{10}$

$x = \frac{39 - i \sqrt{1679}}{10}, y = - \frac{51 + i \sqrt{1679}}{10}$

Étape 7