Algèbre Exemples

$f (x) = x + \sqrt{x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = x + \sqrt{x}$ comme une équation.

$y = x + \sqrt{x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = y + \sqrt{y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $y + \sqrt{y} = x$ .

$y + \sqrt{y} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{y} = x - y$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$y = {(x - y)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - y)}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - y)}^{2}$ comme $(x - y) (x - y)$ .

$y = (x - y) (x - y)$

Étape 3.4.3.1.2

Développez $(x - y) (x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x (x - y) - y (x - y)$

Étape 3.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Étape 3.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Étape 3.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Étape 3.4.3.1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Étape 3.4.3.1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Étape 3.4.3.1.3.1.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.3.1.3.1.4.1

Déplacez $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Étape 3.4.3.1.3.1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Étape 3.4.3.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Étape 3.4.3.1.3.1.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Étape 3.4.3.1.3.2

Soustrayez $y x$ de $- x y$ .

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Étape 3.4.3.1.3.2.1

Déplacez $y$ .

$y = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Étape 3.4.3.1.3.2.2

Soustrayez $x y$ de $- x y$ .

$y = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = y$

Étape 3.5.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - y = 0$

Étape 3.5.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2 x - 1$ et $c = x^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- (- 2 x - 1) \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.5

Simplifiez

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Étape 3.5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.5.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.5.1.4

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ comme ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.5.1.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 2 x - 1$ et $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.5.1.6

Simplifiez

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Étape 3.5.5.1.6.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.5.1.6.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.5.1.6.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.5.1.6.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.5.1.6.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.5.1.6.6

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Étape 3.5.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.4

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ comme ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 2 x - 1$ et $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.6

Simplifiez

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Étape 3.5.6.1.6.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.6.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.6.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.6.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.6.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.1.6.6

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Étape 3.5.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Étape 3.5.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.5.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.4

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ comme ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 2 x - 1$ et $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.6

Simplifiez

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Étape 3.5.7.1.6.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.6.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.6.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.6.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.6.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.1.6.6

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Étape 3.5.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Étape 3.5.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = x + \sqrt{x}$ et $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 1 (- 4 x - 1)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{- 4 x - 1}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 5.3.2.1.2.2

Divisez $- 4 x - 1$ par $1$ .

$- 4 x - 1 \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$- 4 x - 1 \leq 0$

Étape 5.3.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- 4 x \leq 1$

Étape 5.3.2.3

Divisez chaque terme dans $- 4 x \leq 1$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x \leq 1$ par $- 4$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Étape 5.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 5.3.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Étape 5.3.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 4}$

Étape 5.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Étape 5.4

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ n’est pas égal à la plage de $f (x) = x + \sqrt{x}$ , $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ n’est pas un inverse de $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Il n’y a pas d’inverse

Étape 6