Algèbre Exemples

$\log_{3} (y) + \log_{3} (x) - \frac{1}{2} \log_{3} (x) + 3 \log_{3} (z)$

Étape 1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (y x) - \frac{1}{2} \cdot \log_{3} (x) + 3 \log_{3} (z)$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Multipliez $- \frac{1}{2} \log_{3} (x)$ .

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Étape 2.1.1

Remettez dans l’ordre $\log_{3} (x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\log_{3} (y x) - (\frac{1}{2} \log_{3} (x)) + 3 \log_{3} (z)$

Étape 2.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \log_{3} (x)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\log_{3} (y x) - \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) + 3 \log_{3} (z)$

Étape 2.2

Simplifiez $3 \log_{3} (z)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\log_{3} (y x) - \log_{3} (x^{\frac{1}{2}}) + \log_{3} (z^{3})$

Étape 3

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{y x}{x^{\frac{1}{2}}}) + \log_{3} (z^{3})$

Étape 4

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (\frac{y x}{x^{\frac{1}{2}}} z^{3})$

Étape 5

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\log_{3} (y x \cdot x^{- \frac{1}{2}} z^{3})$

Étape 6

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\log_{3} (y (x^{- \frac{1}{2}} x) z^{3})$

Étape 6.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\log_{3} (y (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) z^{3})$

Étape 6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{3} (y x^{- \frac{1}{2} + 1} z^{3})$

Étape 6.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\log_{3} (y x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} z^{3})$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\log_{3} (y x^{\frac{- 1 + 2}{2}} z^{3})$

Étape 6.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\log_{3} (y x^{\frac{1}{2}} z^{3})$

Étape 7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\log_{3} (y x^{\frac{1}{2}} z^{3})$ .

$\log_{3} (y z^{3} x^{\frac{1}{2}})$