Algèbre Exemples

$x^{2} = - \frac{32}{3} y$ $x^{2} + y^{2} = 100$

Étape 1

Résolvez $x$ dans $x^{2} = - \frac{32}{3} y$ .

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Étape 1.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{32}{3} y}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

Étape 1.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{32}{3} y}$ .

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Étape 1.2.1

Associez $y$ et $\frac{32}{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{y \cdot 32}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

Étape 1.2.2

Déplacez $32$ à gauche de $y$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

$x = \pm \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

Étape 1.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

Étape 1.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

Étape 1.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$x^{2} + y^{2} = 100$

Étape 2

Résolvez le système $x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}, x^{2} + y^{2} = 100$ .

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ dans chaque équation.

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Étape 2.1.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x^{2} + y^{2} = 100$ par $\sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ .

${(\sqrt{- \frac{32 y}{3}})}^{2} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez ${\sqrt{- \frac{32 y}{3}}}^{2}$ comme $- \frac{32 y}{3}$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ comme ${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.1.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.1.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.1.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$(- \frac{32 y}{3}) + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$(- \frac{32 y}{3}) + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.1.2.1.5

Simplifiez

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2

Résolvez $y$ dans $- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$ .

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Étape 2.2.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$ par $3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$ par $3$ .

$- \frac{32 y}{3} \cdot 3 + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{32 y}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 32 y}{3} \cdot 3 + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.1.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 32 y}{3} \cdot 3 + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.1.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 32 y + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.1.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$- 32 y + 3 y^{2} = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 100 \cdot 3$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1.3.1

Multipliez $100$ par $3$ .

$- 32 y + 3 y^{2} = 300$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 300$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 300$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.2

Soustrayez $300$ des deux côtés de l’équation.

$- 32 y + 3 y^{2} - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.3.1

Laissez $u = y$ . Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $u$ .

$- 32 u + 3 u^{2} - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.3.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 u^{2} - 32 u - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.3.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 300 = - 900$ et dont la somme est $b = - 32$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Factorisez $- 32$ à partir de $- 32 u$ .

$3 u^{2} - 32 u - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.3.2.2.2

Réécrivez $- 32$ comme $18$ plus $- 50$

$3 u^{2} + (18 - 50) u - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} + 18 u - 50 u - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$3 u^{2} + 18 u - 50 u - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.3.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.3.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 u^{2} + 18 u) - 50 u - 300 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.3.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 u (u + 6) - 50 (u + 6) = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$3 u (u + 6) - 50 (u + 6) = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.3.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u + 6$ .

$(u + 6) (3 u - 50) = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$(u + 6) (3 u - 50) = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$(y + 6) (3 y - 50) = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$(y + 6) (3 y - 50) = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y + 6 = 0$

$3 y - 50 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.5

Définissez $y + 6$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $y + 6$ égal à $0$ .

$y + 6 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 6$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = - 6$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.6

Définissez $3 y - 50$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 2.2.6.1

Définissez $3 y - 50$ égal à $0$ .

$3 y - 50 = 0$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.6.2

Résolvez $3 y - 50 = 0$ pour $y$ .

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Étape 2.2.6.2.1

Ajoutez $50$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y = 50$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $3 y = 50$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = 50$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.6.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y + 6) (3 y - 50) = 0$ vraie.

$y = - 6, \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = - 6, \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 6$ dans chaque équation.

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Étape 2.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ par $- 6$ .

$x = \sqrt{- \frac{32 (- 6)}{3}}$

$y = - 6$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{- \frac{32 (- 6)}{3}}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Réduisez l’expression $\frac{32 (- 6)}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $32 (- 6)$ .

$x = \sqrt{- \frac{3 (32 \cdot (- 2))}{3}}$

$y = - 6$

Étape 2.3.2.1.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x = \sqrt{- \frac{3 (32 \cdot (- 2))}{3 (1)}}$

$y = - 6$

Étape 2.3.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = \sqrt{- \frac{3 (32 \cdot (- 2))}{3 \cdot 1}}$

$y = - 6$

Étape 2.3.2.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = \sqrt{- \frac{32 \cdot (- 2)}{1}}$

$y = - 6$

$x = \sqrt{- \frac{32 \cdot (- 2)}{1}}$

$y = - 6$

Étape 2.3.2.1.1.2

Divisez $32 \cdot (- 2)$ par $1$ .

$x = \sqrt{- (32 \cdot (- 2))}$

$y = - 6$

$x = \sqrt{- 1 \cdot 32 \cdot - 2}$

$y = - 6$

Étape 2.3.2.1.2

Associez les exposants.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$x = \sqrt{- 32 \cdot - 2}$

$y = - 6$

Étape 2.3.2.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $- 2$ .

$x = \sqrt{64}$

$y = - 6$

$x = \sqrt{64}$

$y = - 6$

Étape 2.3.2.1.3

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = \sqrt{8^{2}}$

$y = - 6$

Étape 2.3.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = 8$

$y = - 6$

$x = 8$

$y = - 6$

$x = 8$

$y = - 6$

$x = 8$

$y = - 6$

Étape 2.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $\frac{50}{3}$ dans chaque équation.

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Étape 2.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ par $\frac{50}{3}$ .

$x = \sqrt{- \frac{32 (\frac{50}{3})}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{- \frac{32 (\frac{50}{3})}{3}}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Associez $32$ et $\frac{50}{3}$ .

$x = \sqrt{- \frac{\frac{32 \cdot 50}{3}}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $32$ par $50$ .

$x = \sqrt{- \frac{\frac{1600}{3}}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 2.4.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \sqrt{- (\frac{1600}{3} \cdot \frac{1}{3})}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 2.4.2.1.4

Multipliez $\frac{1600}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 2.4.2.1.4.1

Multipliez $\frac{1600}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = \sqrt{- \frac{1600}{3 \cdot 3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 2.4.2.1.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = \sqrt{- \frac{1600}{9}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \sqrt{- \frac{1600}{9}}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 2.4.2.1.5

Réécrivez $- \frac{1600}{9}$ comme ${(\frac{40 i}{3})}^{2}$ .

$x = \sqrt{{(\frac{40 i}{3})}^{2}}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 2.4.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 3

Résolvez le système $x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}, x^{2} + y^{2} = 100$ .

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Étape 3.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $- \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ dans chaque équation.

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Étape 3.1.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $x^{2} + y^{2} = 100$ par $- \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ .

${(- \sqrt{- \frac{32 y}{3}})}^{2} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{- \frac{32 y}{3}}}^{2} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {\sqrt{- \frac{32 y}{3}}}^{2} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{- \frac{32 y}{3}}}^{2}$ par $1$ .

${\sqrt{- \frac{32 y}{3}}}^{2} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.1.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{- \frac{32 y}{3}}}^{2}$ comme $- \frac{32 y}{3}$ .

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Étape 3.1.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ comme ${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.1.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.1.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.1.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

${(- \frac{32 y}{3})}^{\frac{2}{2}} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.1.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$(- \frac{32 y}{3}) + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$(- \frac{32 y}{3}) + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.1.2.1.4.5

Simplifiez

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2

Résolvez $y$ dans $- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$ .

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Étape 3.2.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$ par $3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{32 y}{3} + y^{2} = 100$ par $3$ .

$- \frac{32 y}{3} \cdot 3 + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{32 y}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 32 y}{3} \cdot 3 + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.1.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 32 y}{3} \cdot 3 + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.1.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 32 y + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + y^{2} \cdot 3 = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.1.2.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$- 32 y + 3 y^{2} = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 100 \cdot 3$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1.3.1

Multipliez $100$ par $3$ .

$- 32 y + 3 y^{2} = 300$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 300$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$- 32 y + 3 y^{2} = 300$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.2

Soustrayez $300$ des deux côtés de l’équation.

$- 32 y + 3 y^{2} - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.3.1

Laissez $u = y$ . Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $u$ .

$- 32 u + 3 u^{2} - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.3.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.2.3.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 u^{2} - 32 u - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.3.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 300 = - 900$ et dont la somme est $b = - 32$ .

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Étape 3.2.3.2.2.1

Factorisez $- 32$ à partir de $- 32 u$ .

$3 u^{2} - 32 u - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.3.2.2.2

Réécrivez $- 32$ comme $18$ plus $- 50$

$3 u^{2} + (18 - 50) u - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} + 18 u - 50 u - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$3 u^{2} + 18 u - 50 u - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.3.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.3.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 u^{2} + 18 u) - 50 u - 300 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.3.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 u (u + 6) - 50 (u + 6) = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$3 u (u + 6) - 50 (u + 6) = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.3.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u + 6$ .

$(u + 6) (3 u - 50) = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$(u + 6) (3 u - 50) = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$(y + 6) (3 y - 50) = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$(y + 6) (3 y - 50) = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$y + 6 = 0$

$3 y - 50 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.5

Définissez $y + 6$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.2.5.1

Définissez $y + 6$ égal à $0$ .

$y + 6 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.5.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 6$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = - 6$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.6

Définissez $3 y - 50$ égal à $0$ et résolvez $y$ .

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Étape 3.2.6.1

Définissez $3 y - 50$ égal à $0$ .

$3 y - 50 = 0$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.6.2

Résolvez $3 y - 50 = 0$ pour $y$ .

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Étape 3.2.6.2.1

Ajoutez $50$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y = 50$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $3 y = 50$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = 50$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.6.2.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(y + 6) (3 y - 50) = 0$ vraie.

$y = - 6, \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

$y = - 6, \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- 6$ dans chaque équation.

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Étape 3.3.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ par $- 6$ .

$x = - \sqrt{- \frac{32 (- 6)}{3}}$

$y = - 6$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez $- \sqrt{- \frac{32 (- 6)}{3}}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.1.1

Réduisez l’expression $\frac{32 (- 6)}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $32 (- 6)$ .

$x = - \sqrt{- \frac{3 (32 \cdot (- 2))}{3}}$

$y = - 6$

Étape 3.3.2.1.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x = - \sqrt{- \frac{3 (32 \cdot (- 2))}{3 (1)}}$

$y = - 6$

Étape 3.3.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = - \sqrt{- \frac{3 (32 \cdot (- 2))}{3 \cdot 1}}$

$y = - 6$

Étape 3.3.2.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = - \sqrt{- \frac{32 \cdot (- 2)}{1}}$

$y = - 6$

$x = - \sqrt{- \frac{32 \cdot (- 2)}{1}}$

$y = - 6$

Étape 3.3.2.1.1.2

Divisez $32 \cdot (- 2)$ par $1$ .

$x = - \sqrt{- (32 \cdot (- 2))}$

$y = - 6$

$x = - \sqrt{- 1 \cdot 32 \cdot - 2}$

$y = - 6$

Étape 3.3.2.1.2

Associez les exposants.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $32$ .

$x = - \sqrt{- 32 \cdot - 2}$

$y = - 6$

Étape 3.3.2.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $- 2$ .

$x = - \sqrt{64}$

$y = - 6$

$x = - \sqrt{64}$

$y = - 6$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$x = - \sqrt{8^{2}}$

$y = - 6$

Étape 3.3.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = - 1 \cdot 8$

$y = - 6$

Étape 3.3.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$x = - 8$

$y = - 6$

$x = - 8$

$y = - 6$

$x = - 8$

$y = - 6$

$x = - 8$

$y = - 6$

Étape 3.4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $\frac{50}{3}$ dans chaque équation.

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Étape 3.4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = - \sqrt{- \frac{32 y}{3}}$ par $\frac{50}{3}$ .

$x = - \sqrt{- \frac{32 (\frac{50}{3})}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $- \sqrt{- \frac{32 (\frac{50}{3})}{3}}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Associez $32$ et $\frac{50}{3}$ .

$x = - \sqrt{- \frac{\frac{32 \cdot 50}{3}}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $32$ par $50$ .

$x = - \sqrt{- \frac{\frac{1600}{3}}{3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 3.4.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \sqrt{- (\frac{1600}{3} \cdot \frac{1}{3})}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 3.4.2.1.4

Multipliez $\frac{1600}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.4.1

Multipliez $\frac{1600}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x = - \sqrt{- \frac{1600}{3 \cdot 3}}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 3.4.2.1.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$x = - \sqrt{- \frac{1600}{9}}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \sqrt{- \frac{1600}{9}}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 3.4.2.1.5

Réécrivez $- \frac{1600}{9}$ comme ${(\frac{40 i}{3})}^{2}$ .

$x = - \sqrt{{(\frac{40 i}{3})}^{2}}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 3.4.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = - \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

$x = - \frac{40 i}{3}$

$y = \frac{50}{3}$

Étape 4

Indiquez toutes les solutions.

$x = 8, y = - 6$

$x = \frac{40 i}{3}, y = \frac{50}{3}$

$x = - 8, y = - 6$

$x = - \frac{40 i}{3}, y = \frac{50}{3}$

Étape 5