Algèbre Exemples

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \div \frac{3 x + 3 y}{x^{2} - y^{2}}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{3 x + 3 y}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = y$ .

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{3 x + 3 y}$

Étape 3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 y$ .

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Étape 3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{3 (x) + 3 y}$

Étape 3.2

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{3 (x) + 3 (y)}$

Étape 3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x) + 3 (y)$ .

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{3 (x + y)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $x + y$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x - y)}^{2}}{x + y} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{3 (x + y)}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

${(x - y)}^{2} \frac{x - y}{3 (x + y)}$

Étape 5

Associez ${(x - y)}^{2}$ et $\frac{x - y}{3 (x + y)}$ .

$\frac{{(x - y)}^{2} (x - y)}{3 (x + y)}$

Étape 6

Multipliez ${(x - y)}^{2}$ par $x - y$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1

Multipliez ${(x - y)}^{2}$ par $x - y$ .

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Étape 6.1.1

Élevez $x - y$ à la puissance $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{2} {(x - y)}^{1}}{3 (x + y)}$

Étape 6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{(x - y)}^{2 + 1}}{3 (x + y)}$

Étape 6.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 7

Utilisez le théorème du binôme.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} (- y) + 3 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{3} + 3 \cdot - 1 x^{2} y + 3 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 8.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x {(- y)}^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 8.3

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x ({(- 1)}^{2} y^{2}) + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 8.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x y^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 8.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 \cdot 1 x y^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 8.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + {(- y)}^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 8.7

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} + {(- 1)}^{3} y^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 8.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 9

Divisez la fraction $\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}}{3 (x + y)}$ en deux fractions.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 10

Divisez la fraction $\frac{x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2}}{3 (x + y)}$ en deux fractions.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} y}{3 (x + y)} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 11

Divisez la fraction $\frac{x^{3} - 3 x^{2} y}{3 (x + y)}$ en deux fractions.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} + \frac{- 3 x^{2} y}{3 (x + y)} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 12

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 12.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2} y$ .

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} + \frac{3 (- x^{2} y)}{3 (x + y)} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} + \frac{3 (- x^{2} y)}{3 (x + y)} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 12.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} + \frac{- x^{2} y}{x + y} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 13

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} - \frac{x^{2} y}{x + y} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} - \frac{x^{2} y}{x + y} + \frac{3 x y^{2}}{3 (x + y)} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 14.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} - \frac{x^{2} y}{x + y} + \frac{x y^{2}}{x + y} + \frac{- y^{3}}{3 (x + y)}$

Étape 15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x^{3}}{3 (x + y)} - \frac{x^{2} y}{x + y} + \frac{x y^{2}}{x + y} - \frac{y^{3}}{3 (x + y)}$