Algèbre Exemples

$\frac{5}{y - 3} + \frac{1}{y + 3} - \frac{4 y - 18}{y^{2} - 9}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y - 18$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y$ .

$\frac{5}{y - 3} + \frac{1}{y + 3} - \frac{2 (2 y) - 18}{y^{2} - 9}$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18$ .

$\frac{5}{y - 3} + \frac{1}{y + 3} - \frac{2 (2 y) + 2 (- 9)}{y^{2} - 9}$

Étape 1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 y) + 2 (- 9)$ .

$\frac{5}{y - 3} + \frac{1}{y + 3} - \frac{2 (2 y - 9)}{y^{2} - 9}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{5}{y - 3} + \frac{1}{y + 3} - \frac{2 (2 y - 9)}{y^{2} - 3^{2}}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 3$ .

$\frac{5}{y - 3} + \frac{1}{y + 3} - \frac{2 (2 y - 9)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{5}{y - 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{5}{y - 3} \cdot \frac{y + 3}{y + 3} + \frac{1}{y + 3} - \frac{2 (2 y - 9)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{1}{y + 3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{5}{y - 3} \cdot \frac{y + 3}{y + 3} + \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y - 3}{y - 3} - \frac{2 (2 y - 9)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(y - 3) (y + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{5}{y - 3}$ par $\frac{y + 3}{y + 3}$ .

$\frac{5 (y + 3)}{(y - 3) (y + 3)} + \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y - 3}{y - 3} - \frac{2 (2 y - 9)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{1}{y + 3}$ par $\frac{y - 3}{y - 3}$ .

$\frac{5 (y + 3)}{(y - 3) (y + 3)} + \frac{y - 3}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{2 (2 y - 9)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(y - 3) (y + 3)$ .

$\frac{5 (y + 3)}{(y + 3) (y - 3)} + \frac{y - 3}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{2 (2 y - 9)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 (y + 3) + y - 3}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{2 (2 y - 9)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 (y + 3) + y - 3 - 2 (2 y - 9)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 y + 5 \cdot 3 + y - 3 - 2 (2 y - 9)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{5 y + 15 + y - 3 - 2 (2 y - 9)}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 y + 15 + y - 3 - 2 (2 y) - 2 \cdot - 9}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{5 y + 15 + y - 3 - 4 y - 2 \cdot - 9}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 6.5

Multipliez $- 2$ par $- 9$ .

$\frac{5 y + 15 + y - 3 - 4 y + 18}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Additionnez $5 y$ et $y$ .

$\frac{6 y + 15 - 3 - 4 y + 18}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.2

Soustrayez $4 y$ de $6 y$ .

$\frac{2 y + 15 - 3 + 18}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.3

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.3.1

Soustrayez $3$ de $15$ .

$\frac{2 y + 12 + 18}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.3.2

Additionnez $12$ et $18$ .

$\frac{2 y + 30}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 30$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{2 (y) + 30}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.4.2

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$\frac{2 y + 2 \cdot 15}{(y + 3) (y - 3)}$

Étape 7.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 2 \cdot 15$ .

$\frac{2 (y + 15)}{(y + 3) (y - 3)}$