Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{8}}{\sqrt{8} + \sqrt{12}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{4 (2)}}{\sqrt{8} + \sqrt{12}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{8} + \sqrt{12}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{3} - (2 \sqrt{2})}{\sqrt{8} + \sqrt{12}}$

Étape 1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{8} + \sqrt{12}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{4 (2)} + \sqrt{12}}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2} + \sqrt{12}}$

Étape 2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} + \sqrt{12}}$

Étape 2.3

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} + \sqrt{4 (3)}}$

Étape 2.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}$

Étape 2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}$ par $\frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}$ par $\frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}{(2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) (2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}$

Étape 4.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}{4 {\sqrt{2}}^{2} - 4 \sqrt{6} + 4 \sqrt{6} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}{- 4}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}$ et $- 4$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 ((\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{2} - \sqrt{3}))}{- 4}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 ((\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{2} - \sqrt{3}))}{2 (- 2)}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 ((\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{2} - \sqrt{3}))}{2 \cdot - 2}$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{2} - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 5

Développez $(\sqrt{3} - 2 \sqrt{2}) (\sqrt{2} - \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} (\sqrt{2} - \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{2} - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} (\sqrt{2} - \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.3

Multipliez $\sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 6.1.3.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.3.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 6.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - 3^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{6} - 3^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{6} - 3^{1} - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{6} - 1 \cdot 3 - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{6} - 3 - 2 \sqrt{2} \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.6

Multipliez $- 2 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Étape 6.1.6.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - 3 - 2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - 3 - 2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{6} - 3 - 2 {\sqrt{2}}^{1 + 1} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.6.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{6} - 3 - 2 {\sqrt{2}}^{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{6} - 3 - 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{6} - 3 - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - 3 - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{6} - 3 - 2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{6} - 3 - 2 \cdot 2^{1} - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{6} - 3 - 2 \cdot 2 - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.8

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - 3 - 4 - 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Étape 6.1.9

Multipliez $- 2 \sqrt{2} (- \sqrt{3})$ .

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Étape 6.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{\sqrt{6} - 3 - 4 + 2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{- 2}$

Étape 6.1.9.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6} - 3 - 4 + 2 \sqrt{3 \cdot 2}}{- 2}$

Étape 6.1.9.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - 3 - 4 + 2 \sqrt{6}}{- 2}$

Étape 6.2

Additionnez $\sqrt{6}$ et $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{- 3 - 4 + 3 \sqrt{6}}{- 2}$

Étape 6.3

Soustrayez $4$ de $- 3$ .

$\frac{- 7 + 3 \sqrt{6}}{- 2}$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{- 7 + 3 \sqrt{6}}{2}$

Étape 8

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$- \frac{- 1 (7) + 3 \sqrt{6}}{2}$

Étape 9

Factorisez $- 1$ à partir de $3 \sqrt{6}$ .

$- \frac{- 1 (7) - (- 3 \sqrt{6})}{2}$

Étape 10

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - (- 3 \sqrt{6})$ .

$- \frac{- 1 (7 - 3 \sqrt{6})}{2}$

Étape 11

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{7 - 3 \sqrt{6}}{2}$

Étape 11.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{7 - 3 \sqrt{6}}{2}$

Étape 11.3

Multipliez $\frac{7 - 3 \sqrt{6}}{2}$ par $1$ .

$\frac{7 - 3 \sqrt{6}}{2}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{7 - 3 \sqrt{6}}{2}$

Forme décimale :

$- 0.17423461 \dots$