Algèbre Exemples

$\frac{- 2}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{- 2}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}$

Étape 1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}$

Étape 1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1}$

Étape 2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{1}{x + 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{1}{x - 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - (\frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1})$

Étape 2.4

Multipliez $\frac{1}{x - 1}$ par $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Étape 2.5

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 1)$ .

$- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 + x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 2 + x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 2 + x - 1 - x - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.1

Associez les termes opposés dans $- 2 + x - 1 - x - 1$ .

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Étape 5.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{- 2 + 0 - 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.1.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$\frac{- 2 - 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$\frac{- 3 - 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.2.2

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$\frac{- 4}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 5.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{(x + 1) (x - 1)}$