Algèbre Exemples

$(2 a^{2} b + 2 b^{3}) (3 a^{2} b + 3 b + 5 b^{3})$

Étape 1

Développez $(2 a^{2} b + 2 b^{3}) (3 a^{2} b + 3 b + 5 b^{3})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 a^{2} b (3 a^{2} b) + 2 a^{2} b (3 b) + 2 a^{2} b (5 b^{3}) + 2 b^{3} (3 a^{2} b) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Multipliez $a^{2}$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.1

Déplacez $a^{2}$ .

$2 (a^{2} a^{2}) b (3 b) + 2 a^{2} b (3 b) + 2 a^{2} b (5 b^{3}) + 2 b^{3} (3 a^{2} b) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 a^{2 + 2} b (3 b) + 2 a^{2} b (3 b) + 2 a^{2} b (5 b^{3}) + 2 b^{3} (3 a^{2} b) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 a^{4} b (3 b) + 2 a^{2} b (3 b) + 2 a^{2} b (5 b^{3}) + 2 b^{3} (3 a^{2} b) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.2

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Déplacez $b$ .

$2 a^{4} (b \cdot b) \cdot 3 + 2 a^{2} b (3 b) + 2 a^{2} b (5 b^{3}) + 2 b^{3} (3 a^{2} b) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.2.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$2 a^{4} b^{2} \cdot 3 + 2 a^{2} b (3 b) + 2 a^{2} b (5 b^{3}) + 2 b^{3} (3 a^{2} b) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 a^{4} b^{2} + 2 a^{2} b (3 b) + 2 a^{2} b (5 b^{3}) + 2 b^{3} (3 a^{2} b) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.4

Multipliez $b$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $b$ .

$6 a^{4} b^{2} + 2 a^{2} (b \cdot b) \cdot 3 + 2 a^{2} b (5 b^{3}) + 2 b^{3} (3 a^{2} b) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.4.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$6 a^{4} b^{2} + 2 a^{2} b^{2} \cdot 3 + 2 a^{2} b (5 b^{3}) + 2 b^{3} (3 a^{2} b) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.5

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} b (5 b^{3}) + 2 b^{3} (3 a^{2} b) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.6

Multipliez $b$ par $b^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.1

Déplacez $b^{3}$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} (b^{3} b) \cdot 5 + 2 b^{3} (3 a^{2} b) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.6.2

Multipliez $b^{3}$ par $b$ .

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Étape 2.6.2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} (b^{3} b^{1}) \cdot 5 + 2 b^{3} (3 a^{2} b) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} b^{3 + 1} \cdot 5 + 2 b^{3} (3 a^{2} b) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 2 a^{2} b^{4} \cdot 5 + 2 b^{3} (3 a^{2} b) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.7

Multipliez $5$ par $2$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 2 b^{3} (3 a^{2} b) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.8

Multipliez $b^{3}$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.1

Déplacez $b$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 2 (b \cdot b^{3}) (3 a^{2}) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.8.2

Multipliez $b$ par $b^{3}$ .

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Étape 2.8.2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 2 (b^{1} b^{3}) (3 a^{2}) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 2 b^{1 + 3} (3 a^{2}) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.8.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 2 b^{4} (3 a^{2}) + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 2 \cdot 3 b^{4} a^{2} + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 6 b^{4} a^{2} + 2 b^{3} (3 b) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 6 b^{4} a^{2} + 2 \cdot 3 b^{3} b + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.12

Multipliez $b^{3}$ par $b$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.12.1

Déplacez $b$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 6 b^{4} a^{2} + 2 \cdot 3 (b \cdot b^{3}) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.12.2

Multipliez $b$ par $b^{3}$ .

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Étape 2.12.2.1

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 6 b^{4} a^{2} + 2 \cdot 3 (b^{1} b^{3}) + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 6 b^{4} a^{2} + 2 \cdot 3 b^{1 + 3} + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.12.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 6 b^{4} a^{2} + 2 \cdot 3 b^{4} + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.13

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 6 b^{4} a^{2} + 6 b^{4} + 2 b^{3} (5 b^{3})$

Étape 2.14

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 6 b^{4} a^{2} + 6 b^{4} + 2 \cdot 5 b^{3} b^{3}$

Étape 2.15

Multipliez $b^{3}$ par $b^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.1

Déplacez $b^{3}$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 6 b^{4} a^{2} + 6 b^{4} + 2 \cdot 5 (b^{3} b^{3})$

Étape 2.15.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 6 b^{4} a^{2} + 6 b^{4} + 2 \cdot 5 b^{3 + 3}$

Étape 2.15.3

Additionnez $3$ et $3$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 6 b^{4} a^{2} + 6 b^{4} + 2 \cdot 5 b^{6}$

Étape 2.16

Multipliez $2$ par $5$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 6 b^{4} a^{2} + 6 b^{4} + 10 b^{6}$

Étape 3

Additionnez $10 a^{2} b^{4}$ et $6 b^{4} a^{2}$ .

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Étape 3.1

Déplacez $b^{4}$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 10 a^{2} b^{4} + 6 a^{2} b^{4} + 6 b^{4} + 10 b^{6}$

Étape 3.2

Additionnez $10 a^{2} b^{4}$ et $6 a^{2} b^{4}$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 16 a^{2} b^{4} + 6 b^{4} + 10 b^{6}$

Étape 4

Déplacez $6 b^{4}$ .

$6 a^{4} b^{2} + 6 a^{2} b^{2} + 16 a^{2} b^{4} + 10 b^{6} + 6 b^{4}$

Étape 5

Déplacez $6 a^{2} b^{2}$ .

$6 a^{4} b^{2} + 16 a^{2} b^{4} + 10 b^{6} + 6 a^{2} b^{2} + 6 b^{4}$