Algèbre Exemples

${(\frac{1}{3})}^{x} < {(\frac{1}{5})}^{x}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’inégalité.

$\ln ({(\frac{1}{3})}^{x}) < \ln ({(\frac{1}{5})}^{x})$

Étape 2

Développez $\ln ({(\frac{1}{3})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (\frac{1}{3}) < \ln ({(\frac{1}{5})}^{x})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{1}{3})$ comme $\ln (1) - \ln (3)$ .

$x (\ln (1) - \ln (3)) < \ln ({(\frac{1}{5})}^{x})$

Étape 4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x (0 - \ln (3)) < \ln ({(\frac{1}{5})}^{x})$

Étape 5

Soustrayez $\ln (3)$ de $0$ .

$x (- \ln (3)) < \ln ({(\frac{1}{5})}^{x})$

Étape 6

Développez $\ln ({(\frac{1}{5})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x (- \ln (3)) < x \ln (\frac{1}{5})$

Étape 7

Réécrivez $\ln (\frac{1}{5})$ comme $\ln (1) - \ln (5)$ .

$x (- \ln (3)) < x (\ln (1) - \ln (5))$

Étape 8

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$x (- \ln (3)) < x (0 - \ln (5))$

Étape 9

Soustrayez $\ln (5)$ de $0$ .

$x (- \ln (3)) < x (- \ln (5))$

Étape 10

Résolvez l’inégalité pour $x$ .

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Étape 10.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x \ln (3) < x (- \ln (5))$

Étape 10.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- x \ln (3) < - x \ln (5)$

Étape 10.3

Ajoutez $x \ln (5)$ aux deux côtés de l’inégalité.

$- x \ln (3) + x \ln (5) < 0$

Étape 10.4

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (3) + x \ln (5)$ .

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Étape 10.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x \ln (5) < 0$

Étape 10.4.2

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (5)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (5)) < 0$

Étape 10.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (5))$ .

$x (- 1 \ln (3) + \ln (5)) < 0$

Étape 10.5

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$x (- \ln (3) + \ln (5)) < 0$

Étape 10.6

Divisez chaque terme dans $x (- \ln (3) + \ln (5)) < 0$ par $- \ln (3) + \ln (5)$ et simplifiez.

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Étape 10.6.1

Divisez chaque terme dans $x (- \ln (3) + \ln (5)) < 0$ par $- \ln (3) + \ln (5)$ .

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (5))}{- \ln (3) + \ln (5)} < \frac{0}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Étape 10.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.6.2.1

Annulez le facteur commun de $- \ln (3) + \ln (5)$ .

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Étape 10.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (5))}{- \ln (3) + \ln (5)} < \frac{0}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Étape 10.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{0}{- \ln (3) + \ln (5)}$

Étape 10.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.6.3.1

Divisez $0$ par $- \ln (3) + \ln (5)$ .

$x < 0$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < 0$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0)$

Étape 12