Algèbre Exemples

${(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x))}^{2} - 16 \sin^{2} (x) = \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2}$

Étape 1

Soustrayez $\frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2}$ des deux côtés de l’équation.

${(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x))}^{2} - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2

Simplifiez ${(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x))}^{2} - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x))}^{2}$ comme $(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x)) (- 3 \cos (x) - 5 \sin (x))$ .

$(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x)) (- 3 \cos (x) - 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.2

Développez $(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x)) (- 3 \cos (x) - 5 \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x) - 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x) - 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (- 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x) - 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (- 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x)) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.1.1

Multipliez $- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))$ .

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Étape 2.1.3.1.1.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$9 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) (- 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x)) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos (x)) - 3 \cos (x) (- 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x)) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$9 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - 3 \cos (x) (- 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x)) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 {\cos (x)}^{1 + 1} - 3 \cos (x) (- 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x)) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) (- 5 \sin (x)) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x)) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.2

Multipliez $- 5$ par $- 3$ .

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) - 5 \sin (x) (- 3 \cos (x)) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 5$ .

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 15 \sin (x) \cos (x) - 5 \sin (x) (- 5 \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.4

Multipliez $- 5 \sin (x) (- 5 \sin (x))$ .

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Étape 2.1.3.1.4.1

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 15 \sin (x) \cos (x) + 25 \sin (x) \sin (x) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 15 \sin (x) \cos (x) + 25 (\sin^{1} (x) \sin (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.4.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 15 \sin (x) \cos (x) + 25 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 15 \sin (x) \cos (x) + 25 {\sin (x)}^{1 + 1} - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 15 \sin (x) \cos (x) + 25 \sin^{2} (x) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.3.2

Réorganisez les facteurs de $15 \sin (x) \cos (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 15 \cos (x) \sin (x) + 25 \sin^{2} (x) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.1.3.3

Additionnez $15 \cos (x) \sin (x)$ et $15 \cos (x) \sin (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) + 30 \cos (x) \sin (x) + 25 \sin^{2} (x) - 16 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $16 \sin^{2} (x)$ de $25 \sin^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) + 30 \cos (x) \sin (x) + 9 \sin^{2} (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.3

Déplacez $9 \sin^{2} (x)$ .

$9 \cos^{2} (x) + 9 \sin^{2} (x) + 30 \cos (x) \sin (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.4

Factorisez $9$ à partir de $9 \cos^{2} (x)$ .

$9 (\cos^{2} (x)) + 9 \sin^{2} (x) + 30 \cos (x) \sin (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.5

Factorisez $9$ à partir de $9 \sin^{2} (x)$ .

$9 (\cos^{2} (x)) + 9 (\sin^{2} (x)) + 30 \cos (x) \sin (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.6

Factorisez $9$ à partir de $9 (\cos^{2} (x)) + 9 (\sin^{2} (x))$ .

$9 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 30 \cos (x) \sin (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.7

Réorganisez les termes.

$9 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 30 \cos (x) \sin (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.8

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$9 \cdot 1 + 30 \cos (x) \sin (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.9

Multipliez $9$ par $1$ .

$9 + 30 \cos (x) \sin (x) - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.10

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$30 \cos (x) \sin (x) + 9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.11

Associez $9$ et $\frac{2}{2}$ .

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{9 \cdot 2}{2} - \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{9 \cdot 2 - (18 + 15 \sqrt{3})}{2} = 0$

Étape 2.13

Multipliez $9$ par $2$ .

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{18 - (18 + 15 \sqrt{3})}{2} = 0$

Étape 2.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.14.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{18 - 1 \cdot 18 - (15 \sqrt{3})}{2} = 0$

Étape 2.14.1.2

Multipliez $- 1$ par $18$ .

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{18 - 18 - (15 \sqrt{3})}{2} = 0$

Étape 2.14.1.3

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{18 - 18 - 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.14.1.4

Soustrayez $18$ de $18$ .

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{0 - 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.14.1.5

Soustrayez $15 \sqrt{3}$ de $0$ .

$30 \cos (x) \sin (x) + \frac{- 15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 2.14.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$30 \cos (x) \sin (x) - \frac{15 \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 3

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{30 \cos (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \frac{15 \sqrt{3}}{2}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{30 \cos (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \frac{15 \sqrt{3}}{2}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4.2

Divisez $30 \sin (x)$ par $1$ .

$30 \sin (x) + \frac{- \frac{15 \sqrt{3}}{2}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$30 \sin (x) - \frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$30 \sin (x) - \frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 7

Associez $\sec (x)$ et $\frac{15 \sqrt{3}}{2}$ .

$30 \sin (x) - \frac{\sec (x) (15 \sqrt{3})}{2} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 8

Déplacez $15$ à gauche de $\sec (x)$ .

$30 \sin (x) - \frac{15 \sec (x) \sqrt{3}}{2} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 9

Séparez les fractions.

$30 \sin (x) - \frac{15 \sec (x) \sqrt{3}}{2} = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 10

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$30 \sin (x) - \frac{15 \sec (x) \sqrt{3}}{2} = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 11

Divisez $0$ par $1$ .

$30 \sin (x) - \frac{15 \sec (x) \sqrt{3}}{2} = 0 \sec (x)$

Étape 12

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$30 \sin (x) - \frac{15 \sec (x) \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 13

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$30 \sin (x) - \frac{15 \frac{1}{\cos (x)} \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 13.1.1.2

Associez les exposants.

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Étape 13.1.1.2.1

Associez $15$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$30 \sin (x) - \frac{\frac{15}{\cos (x)} \sqrt{3}}{2} = 0$

Étape 13.1.1.2.2

Associez $\frac{15}{\cos (x)}$ et $\sqrt{3}$ .

$30 \sin (x) - \frac{\frac{15 \sqrt{3}}{\cos (x)}}{2} = 0$

Étape 13.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$30 \sin (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{2}) = 0$

Étape 13.1.3

Multipliez $\frac{15 \sqrt{3}}{\cos (x)}$ par $\frac{1}{2}$ .

$30 \sin (x) - \frac{15 \sqrt{3}}{\cos (x) \cdot 2} = 0$

Étape 13.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$30 \sin (x) - \frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)} = 0$

Étape 14

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{30 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 15

Séparez les fractions.

$\frac{30}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 16

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{30}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 17

Divisez $30$ par $1$ .

$30 \tan (x) + \frac{- \frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 18

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$30 \tan (x) - \frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 19

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$30 \tan (x) - \frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 20

Associez $\sec (x)$ et $\frac{15 \sqrt{3}}{2 \cos (x)}$ .

$30 \tan (x) - \frac{\sec (x) (15 \sqrt{3})}{2 \cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 21

Séparez les fractions.

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)}) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 22

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 23

Réécrivez $\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ comme un produit.

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 24

Simplifiez

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Étape 24.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot (\sec (x) (\frac{1}{\cos (x)}))) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 24.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot (\sec (x) \sec (x))) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 24.3

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot (\sec (x) \sec (x))) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 24.4

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot (\sec (x) \sec (x))) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 24.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot {\sec (x)}^{1 + 1}) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 24.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$30 \tan (x) - (\frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \sec^{2} (x)) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 25

Associez $\frac{15 \sqrt{3}}{2}$ et $\sec^{2} (x)$ .

$30 \tan (x) - \frac{15 \sqrt{3} \sec^{2} (x)}{2} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 26

Séparez les fractions.

$30 \tan (x) - \frac{15 \sqrt{3} \sec^{2} (x)}{2} = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 27

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$30 \tan (x) - \frac{15 \sqrt{3} \sec^{2} (x)}{2} = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 28

Divisez $0$ par $1$ .

$30 \tan (x) - \frac{15 \sqrt{3} \sec^{2} (x)}{2} = 0 \sec (x)$

Étape 29

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$30 \tan (x) - \frac{15 \sqrt{3} \sec^{2} (x)}{2} = 0$

Étape 30

Remplacez le $\sec^{2} (x)$ par $1 + \tan^{2} (x)$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\frac{30 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x))}{2} = 0$

Étape 31

Annulez le facteur commun à $30$ et $2$ .

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Étape 31.1

Factorisez $2$ à partir de $30 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x))$ .

$\frac{2 (15 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x)))}{2} = 0$

Étape 31.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 31.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (15 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x)))}{2 (1)} = 0$

Étape 31.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (15 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x)))}{2 \cdot 1} = 0$

Étape 31.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{15 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x))}{1} = 0$

Étape 31.2.4

Divisez $15 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x))$ par $1$ .

$15 \tan (x) \sqrt{3} (1 + \tan^{2} (x)) = 0$

Étape 32

Appliquez la propriété distributive.

$15 \tan (x) \sqrt{3} \cdot 1 + 15 \tan (x) \sqrt{3} \tan^{2} (x) = 0$

Étape 33

Multipliez $15$ par $1$ .

$15 \tan (x) \sqrt{3} + 15 \tan (x) \sqrt{3} \tan^{2} (x) = 0$

Étape 34

Multipliez $\tan (x)$ par $\tan^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 34.1

Déplacez $\tan^{2} (x)$ .

$15 \tan (x) \sqrt{3} + 15 (\tan^{2} (x) \tan (x)) \sqrt{3} = 0$

Étape 34.2

Multipliez $\tan^{2} (x)$ par $\tan (x)$ .

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Étape 34.2.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$15 \tan (x) \sqrt{3} + 15 (\tan^{2} (x) \tan (x)) \sqrt{3} = 0$

Étape 34.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$15 \tan (x) \sqrt{3} + 15 {\tan (x)}^{2 + 1} \sqrt{3} = 0$

Étape 34.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$15 \tan (x) \sqrt{3} + 15 \tan^{3} (x) \sqrt{3} = 0$

Étape 35

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$15 \tan^{3} (x) \sqrt{3} + 15 \tan (x) \sqrt{3} = 0$

Étape 36

Remplacez $\tan (x)$ par $u$ .

$15 {(u)}^{3} \sqrt{3} + 15 (u) \sqrt{3} = 0$

Étape 37

Factorisez $15 u \sqrt{3}$ à partir de $15 u^{3} \sqrt{3} + 15 u \sqrt{3}$ .

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Étape 37.1

Factorisez $15 u \sqrt{3}$ à partir de $15 u^{3} \sqrt{3}$ .

$15 u \sqrt{3} u^{2} + 15 u \sqrt{3} = 0$

Étape 37.2

Factorisez $15 u \sqrt{3}$ à partir de $15 u \sqrt{3}$ .

$15 u \sqrt{3} u^{2} + 15 u \sqrt{3} \cdot 1 = 0$

Étape 37.3

Factorisez $15 u \sqrt{3}$ à partir de $15 u \sqrt{3} u^{2} + 15 u \sqrt{3} \cdot 1$ .

$15 u \sqrt{3} (u^{2} + 1) = 0$

Étape 38

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u^{2} + 1 = 0$

Étape 39

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 40

Définissez $u^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 40.1

Définissez $u^{2} + 1$ égal à $0$ .

$u^{2} + 1 = 0$

Étape 40.2

Résolvez $u^{2} + 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 40.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u^{2} = - 1$

Étape 40.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$u = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 40.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \pm i$

Étape 40.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 40.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$u = i$

Étape 40.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$u = - i$

Étape 40.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$u = i, - i$

Étape 41

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $15 u \sqrt{3} (u^{2} + 1) = 0$ vraie.

$u = 0, i, - i$

Étape 42

Remplacez $u$ par $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 0, i, - i$

Étape 43

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = 0$

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

Étape 44

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = 0$ .

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Étape 44.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (0)$

Étape 44.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 44.2.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 44.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + 0$

Étape 44.4

Additionnez $π$ et $0$ .

$x = π$

Étape 44.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 44.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 44.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 44.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 44.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 44.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 45

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = i$ .

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Étape 45.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (i)$

Étape 45.2

La tangente inverse de $\arctan (i)$ est indéfinie.

Indéfini

Étape 46

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = - i$ .

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Étape 46.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- i)$

Étape 46.2

La tangente inverse de $\arctan (- i)$ est indéfinie.

Indéfini

Étape 47

Indiquez toutes les solutions.

$x = π n, π + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 48

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 49

Excluez les solutions qui ne rendent pas ${(- 3 \cos (x) - 5 \sin (x))}^{2} - 16 \sin^{2} (x) = \frac{18 + 15 \sqrt{3}}{2}$ vrai.

Aucune solution