Algèbre Exemples

$\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > x$

Étape 1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} - x > 0$

Étape 2

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 x + | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |}$ .

$\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} - x \cdot \frac{2 x + | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Associez $- x$ et $\frac{2 x + | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |}$ .

$\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} + \frac{- x (2 x + | 5 x + 2 |)}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - | 5 x + 2 | - x (2 x + | 5 x + 2 |)}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - | 5 x + 2 | - x (2 x) - x | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x - | 5 x + 2 | - 1 \cdot (2 x \cdot x) - x | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x - | 5 x + 2 | - 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x - | 5 x + 2 | - 1 \cdot (2 x^{2}) - x | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{x - | 5 x + 2 | - 2 x^{2} - x | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 2 x^{2} - x | 5 x + 2 | + x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - x | 5 x + 2 | + x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x | 5 x + 2 |$ .

$\frac{- (2 x^{2}) - (x | 5 x + 2 |) + x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2}) - (x | 5 x + 2 |)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 |) + x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 |) - 1 (- x) - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 |) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x) - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- | 5 x + 2 |$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x) - (| 5 x + 2 |)}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x) - (| 5 x + 2 |)$ .

$\frac{- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 |)}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 5.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.8.1

Réécrivez $- (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 |)$ comme $- 1 (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 |)$ .

$\frac{- 1 (2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 |)}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 5.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} > 0$

Étape 6

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$2 x^{2} + x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 | = 0$

$2 x + | 5 x + 2 | = 0$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $| 5 x + 2 |$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$x | 5 x + 2 | - x + | 5 x + 2 | = - 2 x^{2}$

Étape 7.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$x | 5 x + 2 | + | 5 x + 2 | = - 2 x^{2} + x$

Étape 8

Factorisez $| 5 x + 2 |$ à partir de $x | 5 x + 2 | + | 5 x + 2 |$ .

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Étape 8.1

Factorisez $| 5 x + 2 |$ à partir de $x | 5 x + 2 |$ .

$| 5 x + 2 | x + | 5 x + 2 | = - 2 x^{2} + x$

Étape 8.2

Élevez $| 5 x + 2 |$ à la puissance $1$ .

$| 5 x + 2 | x + | 5 x + 2 | = - 2 x^{2} + x$

Étape 8.3

Factorisez $| 5 x + 2 |$ à partir de ${| 5 x + 2 |}^{1}$ .

$| 5 x + 2 | x + | 5 x + 2 | \cdot 1 = - 2 x^{2} + x$

Étape 8.4

Factorisez $| 5 x + 2 |$ à partir de $| 5 x + 2 | x + | 5 x + 2 | \cdot 1$ .

$| 5 x + 2 | (x + 1) = - 2 x^{2} + x$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $| 5 x + 2 | (x + 1) = - 2 x^{2} + x$ par $x + 1$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $| 5 x + 2 | (x + 1) = - 2 x^{2} + x$ par $x + 1$ .

$\frac{| 5 x + 2 | (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x^{2}}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 5 x + 2 | (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x^{2}}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $| 5 x + 2 |$ par $1$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{- 2 x^{2}}{x + 1} + \frac{x}{x + 1}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$| 5 x + 2 | = \frac{- 2 x^{2} + x}{x + 1}$

Étape 9.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2} + x$ .

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- 2 x) + x}{x + 1}$

Étape 9.3.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- 2 x) + x^{1}}{x + 1}$

Étape 9.3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- 2 x) + x \cdot 1}{x + 1}$

Étape 9.3.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- 2 x) + x \cdot 1$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- 2 x + 1)}{x + 1}$

Étape 9.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- (2 x) + 1)}{x + 1}$

Étape 9.3.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- (2 x) - 1 (- 1))}{x + 1}$

Étape 9.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- (2 x - 1))}{x + 1}$

Étape 9.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.6.1

Réécrivez $- (2 x - 1)$ comme $- 1 (2 x - 1)$ .

$| 5 x + 2 | = \frac{x (- 1 (2 x - 1))}{x + 1}$

Étape 9.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$| 5 x + 2 | = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1}$

Étape 10

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$5 x + 2 = \pm (- \frac{x (2 x - 1)}{x + 1})$

Étape 11

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$5 x + 2 = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1}$

Étape 11.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$

Étape 11.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 11.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x + 1, 1$

Étape 11.3.2

Supprimez les parenthèses.

$1, x + 1, 1$

Étape 11.3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + 1$

Étape 11.4

Multiplier chaque terme dans $5 x = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$ par $x + 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 11.4.1

Multipliez chaque terme dans $5 x = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$ par $x + 1$ .

$5 x (x + 1) = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Étape 11.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Étape 11.4.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.4.2.2.1

Déplacez $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Étape 11.4.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot 1 = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Étape 11.4.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 x^{2} + 5 x = - \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Étape 11.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 11.4.3.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x (2 x - 1)}{x + 1}$ dans le numérateur.

$5 x^{2} + 5 x = \frac{- x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Étape 11.4.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$5 x^{2} + 5 x = \frac{- x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Étape 11.4.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$5 x^{2} + 5 x = - x (2 x - 1) - 2 (x + 1)$

Étape 11.4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x = - x (2 x) - x \cdot - 1 - 2 (x + 1)$

Étape 11.4.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{2} + 5 x = - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1 - 2 (x + 1)$

Étape 11.4.3.1.4

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 11.4.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 1 \cdot 2 x \cdot x + 1 x - 2 (x + 1)$

Étape 11.4.3.1.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 1 \cdot 2 x \cdot x + x - 2 (x + 1)$

Étape 11.4.3.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.4.3.1.5.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.4.3.1.5.1.1

Déplacez $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + x - 2 (x + 1)$

Étape 11.4.3.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 1 \cdot 2 x^{2} + x - 2 (x + 1)$

Étape 11.4.3.1.5.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 2 x^{2} + x - 2 (x + 1)$

Étape 11.4.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x = - 2 x^{2} + x - 2 x - 2 \cdot 1$

Étape 11.4.3.1.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 2 x^{2} + x - 2 x - 2$

Étape 11.4.3.2

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = - 2 x^{2} - x - 2$

Étape 11.5

Résolvez l’équation.

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Étape 11.5.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 11.5.1.1

Ajoutez $2 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} + 5 x + 2 x^{2} = - x - 2$

Étape 11.5.1.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} + 5 x + 2 x^{2} + x = - 2$

Étape 11.5.1.3

Additionnez $5 x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$7 x^{2} + 5 x + x = - 2$

Étape 11.5.1.4

Additionnez $5 x$ et $x$ .

$7 x^{2} + 6 x = - 2$

Étape 11.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$7 x^{2} + 6 x + 2 = 0$

Étape 11.5.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 11.5.4

Remplacez les valeurs $a = 7$ , $b = 6$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 2)}}{2 \cdot 7}$

Étape 11.5.5

Simplifiez

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Étape 11.5.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.5.5.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 7 \cdot 2}}{2 \cdot 7}$

Étape 11.5.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 7 \cdot 2$ .

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Étape 11.5.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 28 \cdot 2}}{2 \cdot 7}$

Étape 11.5.5.1.2.2

Multipliez $- 28$ par $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 56}}{2 \cdot 7}$

Étape 11.5.5.1.3

Soustrayez $56$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 20}}{2 \cdot 7}$

Étape 11.5.5.1.4

Réécrivez $- 20$ comme $- 1 (20)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 20}}{2 \cdot 7}$

Étape 11.5.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (20)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Étape 11.5.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{20}}{2 \cdot 7}$

Étape 11.5.5.1.7

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 11.5.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 7}$

Étape 11.5.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 7}$

Étape 11.5.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (2 \sqrt{5})}{2 \cdot 7}$

Étape 11.5.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{5}}{2 \cdot 7}$

Étape 11.5.5.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$

Étape 11.5.5.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{5}}{14}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{5}}{7}$

Étape 11.5.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{5}}{7}, - \frac{3 + i \sqrt{5}}{7}$

Étape 11.6

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$5 x + 2 = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1}$

Étape 11.7

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$5 x = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$

Étape 11.8

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 11.8.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x + 1, 1$

Étape 11.8.2

Supprimez les parenthèses.

$1, x + 1, 1$

Étape 11.8.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x + 1$

Étape 11.9

Multiplier chaque terme dans $5 x = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$ par $x + 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 11.9.1

Multipliez chaque terme dans $5 x = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} - 2$ par $x + 1$ .

$5 x (x + 1) = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Étape 11.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.9.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Étape 11.9.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.9.2.2.1

Déplacez $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Étape 11.9.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot 1 = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Étape 11.9.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 x^{2} + 5 x = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Étape 11.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.9.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 11.9.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$5 x^{2} + 5 x = \frac{x (2 x - 1)}{x + 1} (x + 1) - 2 (x + 1)$

Étape 11.9.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 x^{2} + 5 x = x (2 x - 1) - 2 (x + 1)$

Étape 11.9.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x = x (2 x) + x \cdot - 1 - 2 (x + 1)$

Étape 11.9.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{2} + 5 x = 2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x + 1)$

Étape 11.9.3.1.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 x \cdot x - 1 \cdot x - 2 (x + 1)$

Étape 11.9.3.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.9.3.1.5.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.9.3.1.5.1.1

Déplacez $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 (x \cdot x) - 1 \cdot x - 2 (x + 1)$

Étape 11.9.3.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - 1 \cdot x - 2 (x + 1)$

Étape 11.9.3.1.5.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - x - 2 (x + 1)$

Étape 11.9.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot 1$

Étape 11.9.3.1.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - x - 2 x - 2$

Étape 11.9.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x = 2 x^{2} - 3 x - 2$

Étape 11.10

Résolvez l’équation.

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Étape 11.10.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 11.10.1.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} = - 3 x - 2$

Étape 11.10.1.2

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} + 5 x - 2 x^{2} + 3 x = - 2$

Étape 11.10.1.3

Soustrayez $2 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 5 x + 3 x = - 2$

Étape 11.10.1.4

Additionnez $5 x$ et $3 x$ .

$3 x^{2} + 8 x = - 2$

Étape 11.10.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 8 x + 2 = 0$

Étape 11.10.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 11.10.4

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = 8$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 2)}}{2 \cdot 3}$

Étape 11.10.5

Simplifiez

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Étape 11.10.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.10.5.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 11.10.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 2$ .

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Étape 11.10.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 11.10.5.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 24}}{2 \cdot 3}$

Étape 11.10.5.1.3

Soustrayez $24$ de $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 3}$

Étape 11.10.5.1.4

Réécrivez $40$ comme $2^{2} \cdot 10$ .

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Étape 11.10.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $40$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (10)}}{2 \cdot 3}$

Étape 11.10.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

Étape 11.10.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{10}}{2 \cdot 3}$

Étape 11.10.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{10}}{6}$

Étape 11.10.5.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{10}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{10}}{3}$

Étape 11.10.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$

Étape 11.11

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{5}}{7}, - \frac{3 + i \sqrt{5}}{7}, - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$

Étape 12

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$| 5 x + 2 | = - 2 x$

Étape 13

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$5 x + 2 = \pm (- 2 x)$

Étape 14

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$5 x + 2 = - 2 x$

Étape 14.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 14.2.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x + 2 + 2 x = 0$

Étape 14.2.2

Additionnez $5 x$ et $2 x$ .

$7 x + 2 = 0$

Étape 14.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$7 x = - 2$

Étape 14.4

Divisez chaque terme dans $7 x = - 2$ par $7$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.1

Divisez chaque terme dans $7 x = - 2$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Étape 14.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Étape 14.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{7}$

Étape 14.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{7}$

Étape 14.5

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$5 x + 2 = 2 x$

Étape 14.6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.6.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$5 x + 2 - 2 x = 0$

Étape 14.6.2

Soustrayez $2 x$ de $5 x$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 14.7

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 14.8

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.8.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 14.8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.8.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 14.8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 14.8.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 14.9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = - \frac{2}{7}, - \frac{2}{3}$

Étape 15

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$- \frac{4 - \sqrt{10}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$

$x = - \frac{2}{7}, - \frac{2}{3}$

Étape 16

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}, - \frac{2}{7}, - \frac{2}{3}$

Étape 17

Déterminez le domaine de $\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |} - x$ .

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Étape 17.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - | 5 x + 2 |}{2 x + | 5 x + 2 |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x + | 5 x + 2 | = 0$

Étape 17.2

Résolvez $x$ .

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Étape 17.2.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$| 5 x + 2 | = - 2 x$

Étape 17.2.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$5 x + 2 = \pm (- 2 x)$

Étape 17.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$5 x + 2 = - 2 x$

Étape 17.2.3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.2.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x + 2 + 2 x = 0$

Étape 17.2.3.2.2

Additionnez $5 x$ et $2 x$ .

$7 x + 2 = 0$

Étape 17.2.3.3

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$7 x = - 2$

Étape 17.2.3.4

Divisez chaque terme dans $7 x = - 2$ par $7$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.4.1

Divisez chaque terme dans $7 x = - 2$ par $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Étape 17.2.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 2}{7}$

Étape 17.2.3.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{7}$

Étape 17.2.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{7}$

Étape 17.2.3.5

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$5 x + 2 = 2 x$

Étape 17.2.3.6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.6.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$5 x + 2 - 2 x = 0$

Étape 17.2.3.6.2

Soustrayez $2 x$ de $5 x$ .

$3 x + 2 = 0$

Étape 17.2.3.7

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 2$

Étape 17.2.3.8

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.8.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 17.2.3.8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.8.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 17.2.3.8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Étape 17.2.3.8.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 17.2.3.8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2}{3}$

Étape 17.2.3.9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = - \frac{2}{7}, - \frac{2}{3}$

Étape 17.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, - \frac{2}{7}) \cup (- \frac{2}{7}, \infty)$

Étape 18

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$

$- \frac{4 + \sqrt{10}}{3} < x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$

$- \frac{2}{7} < x < - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$

$x > - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$

Étape 19

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 5$

Étape 19.1.2

Remplacez $x$ par $- 5$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 5) - | 5 (- 5) + 2 |}{2 (- 5) + | 5 (- 5) + 2 |} > - 5$

Étape 19.1.3

Le côté gauche $- 2.\overline{153846}$ est supérieur au côté droit $- 5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 19.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{4 + \sqrt{10}}{3} < x < - \frac{2}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{4 + \sqrt{10}}{3} < x < - \frac{2}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 19.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 2) - | 5 (- 2) + 2 |}{2 (- 2) + | 5 (- 2) + 2 |} > - 2$

Étape 19.2.3

Le côté gauche $- 2.5$ n’est pas supérieur au côté droit $- 2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 19.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.48$

Étape 19.3.2

Remplacez $x$ par $- 0.48$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 0.48) - | 5 (- 0.48) + 2 |}{2 (- 0.48) + | 5 (- 0.48) + 2 |} > - 0.48$

Étape 19.3.3

Le côté gauche $1.\overline{571428}$ est supérieur au côté droit $- 0.48$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 19.4

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{7} < x < - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{2}{7} < x < - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 0.28$

Étape 19.4.2

Remplacez $x$ par $- 0.28$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 0.28) - | 5 (- 0.28) + 2 |}{2 (- 0.28) + | 5 (- 0.28) + 2 |} > - 0.28$

Étape 19.4.3

Le côté gauche $- 22$ n’est pas supérieur au côté droit $- 0.28$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 19.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 19.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 19.5.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) - | 5 (0) + 2 |}{2 (0) + | 5 (0) + 2 |} > 0$

Étape 19.5.3

Le côté gauche $- 1$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 19.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$ Vrai

$- \frac{4 + \sqrt{10}}{3} < x < - \frac{2}{3}$ Faux

$- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$ Vrai

$- \frac{2}{7} < x < - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ Faux

$x > - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ Faux

$x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$ Vrai

$- \frac{4 + \sqrt{10}}{3} < x < - \frac{2}{3}$ Faux

$- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$ Vrai

$- \frac{2}{7} < x < - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ Faux

$x > - \frac{4 - \sqrt{10}}{3}$ Faux

Étape 20

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}$ ou $- \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$

Étape 21

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - \frac{4 + \sqrt{10}}{3} or - \frac{2}{3} < x < - \frac{2}{7}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{4 + \sqrt{10}}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, - \frac{2}{7})$

Étape 22