Algèbre Exemples

$\frac{\csc (θ) + \sec (θ)}{\cos (θ) + \tan (θ)}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $\csc (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{1}{\sin (θ)} + \sec (θ)}{\cos (θ) + \tan (θ)}$

Étape 1.2

Réécrivez $\sec (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)}}{\cos (θ) + \tan (θ)}$

Étape 2

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)}}{\cos (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $\sin (θ) \cos (θ)$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)}}{\cos (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$ par $\frac{\sin (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)}}{\cos (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 3.2

Associez.

$\frac{\sin (θ) \cos (θ) (\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)})}{\sin (θ) \cos (θ) (\cos (θ) + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}$

Étape 4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sin (θ) \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} + \sin (θ) \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 5

Simplifiez en annulant.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $\sin (θ)$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) (\cos (θ)) \frac{1}{\sin (θ)} + \sin (θ) \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (θ) \cos (θ) \frac{1}{\sin (θ)} + \sin (θ) \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) \frac{1}{\cos (θ)}}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $\cos (θ)$ à partir de $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.4

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin^{1} (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.5

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}$

Étape 5.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + {\sin (θ)}^{1 + 1}}$

Étape 5.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin^{2} (θ)}$

Étape 6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ) + \sin^{2} (θ)$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin (θ) \cos (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos (θ) \cos (θ)) + \sin^{2} (θ)}$

Étape 6.1.2

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos (θ) \cos (θ)) + \sin (θ) \sin (θ)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin (θ) (\cos (θ) \cos (θ)) + \sin (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ))}$

Étape 6.2

Multipliez $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Étape 6.2.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ))}$

Étape 6.2.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ))}$

Étape 6.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ))}$

Étape 6.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos^{2} (θ) + \sin (θ))}$