Algèbre Exemples

$\frac{- 4}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} + 17 x + 70}{x^{2} + 3 x - 28} \div \frac{- x - 10}{x^{2} - 8 x + 16}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{- 4}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} + 17 x + 70}{x^{2} + 3 x - 28} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Étape 2

Factorisez $x^{2} + 17 x + 70$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $70$ et dont la somme est $17$ .

$7, 10$

Étape 2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{- 4}{x - 4} \cdot \frac{(x + 7) (x + 10)}{x^{2} + 3 x - 28} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Étape 3

Factorisez $x^{2} + 3 x - 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 28$ et dont la somme est $3$ .

$- 4, 7$

Étape 3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{- 4}{x - 4} \cdot \frac{(x + 7) (x + 10)}{(x - 4) (x + 7)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Étape 4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{(x + 7) (x + 10)}{(x - 4) (x + 7)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $x + 7$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{(x + 7) (x + 10)}{(x - 4) (x + 7)} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{x + 10}{x - 4} \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Étape 5

Multipliez $- \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{x + 10}{x - 4}$ .

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{x + 10}{x - 4}$ par $\frac{4}{x - 4}$ .

$- \frac{(x + 10) \cdot 4}{(x - 4) (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Étape 5.2

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$- \frac{(x + 10) \cdot 4}{{(x - 4)}^{1} (x - 4)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Étape 5.3

Élevez $x - 4$ à la puissance $1$ .

$- \frac{(x + 10) \cdot 4}{{(x - 4)}^{1} {(x - 4)}^{1}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{(x + 10) \cdot 4}{{(x - 4)}^{1 + 1}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Étape 5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{(x + 10) \cdot 4}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Étape 6

Déplacez $4$ à gauche de $x + 10$ .

$- \frac{4 \cdot (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{- x - 10}$

Étape 7

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- \frac{4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 4^{2}}{- x - 10}$

Étape 7.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 7.3

Réécrivez le polynôme.

$- \frac{4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}{- x - 10}$

Étape 7.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$- \frac{4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{- x - 10}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de ${(x - 4)}^{2}$ .

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Étape 8.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{- x - 10}$

Étape 8.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 (x + 10)}{{(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{- x - 10}$

Étape 8.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 4 (x + 10) \frac{1}{- x - 10}$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{- x - 10}$ et $- 4$ .

$\frac{- 4}{- x - 10} (x + 10)$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{- x - 10} (x + 10)$

Étape 8.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{4}{- x - 10} x - \frac{4}{- x - 10} \cdot 10$

Étape 8.5

Associez $x$ et $\frac{4}{- x - 10}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{- x - 10} - \frac{4}{- x - 10} \cdot 10$

Étape 9

Multipliez $- \frac{4}{- x - 10} \cdot 10$ .

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Étape 9.1

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$- \frac{x \cdot 4}{- x - 10} - 10 \frac{4}{- x - 10}$

Étape 9.2

Associez $- 10$ et $\frac{4}{- x - 10}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{- x - 10} + \frac{- 10 \cdot 4}{- x - 10}$

Étape 9.3

Multipliez $- 10$ par $4$ .

$- \frac{x \cdot 4}{- x - 10} + \frac{- 40}{- x - 10}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x \cdot 4 - 40}{- x - 10}$

Étape 11

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4 x - 40}{- x - 10}$

Étape 12

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x - 40$ .

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Étape 12.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) - 40}{- x - 10}$

Étape 12.2

Factorisez $4$ à partir de $- 40$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (- 10)}{- x - 10}$

Étape 12.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x) + 4 (- 10)$ .

$\frac{4 (- x - 10)}{- x - 10}$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $- x - 10$ .

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (- x - 10)}{- x - 10}$

Étape 13.2

Divisez $4$ par $1$ .

$4$