Algèbre Exemples

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Étape 1

Réécrivez $\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$ comme une différence de carrés.

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sec (x)$ et $b = \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

Étape 3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1

Simplifiez $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ .

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Étape 3.1.1

Développez $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Étape 3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

Étape 3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1.2.1

Associez les termes opposés dans $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sec (x) (- \tan (x))$ et $\tan (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 3.1.2.1.2

Additionnez $- \sec (x) \tan (x)$ et $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 3.1.2.1.3

Additionnez $\sec (x) \sec (x)$ et $0$ .

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.2.1

Multipliez $\sec (x) \sec (x)$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 3.1.2.2.1.2

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 3.1.2.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 3.1.2.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

Étape 3.1.2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x) = 1$

Étape 3.1.2.2.3

Multipliez $- \tan (x) \tan (x)$ .

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Étape 3.1.2.2.3.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) = 1$

Étape 3.1.2.2.3.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) = 1$

Étape 3.1.2.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} = 1$

Étape 3.1.2.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

Étape 3.1.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 = 1$

Étape 4

Comme $1 = 1$ , l’équation sera toujours vraie.

Toujours vrai