Algèbre Exemples

$\frac{3 x - x^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \div \frac{x - 10}{4 x^{3} - 64 x}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{3 x - x^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 2

Factorisez $x$ à partir de $3 x - x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\frac{x \cdot 3 - x^{2}}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 3 + x (- x)}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 3 + x (- x)$ .

$\frac{x (3 - x)}{x^{2} - 16} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{x (3 - x)}{x^{2} - 4^{2}} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$\frac{x (3 - x)}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 4}{x^{2} + x - 12} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 4

Factorisez $x^{2} + x - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $1$ .

$- 3, 4$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{x (3 - x)}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 4}{(x - 3) (x + 4)} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (3 - x)}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 4}{(x - 3) (x + 4)} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (3 - x)}{x - 4} \cdot \frac{1}{(x - 3) (x + 4)} \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{x (3 - x)}{x - 4}$ par $\frac{1}{(x - 3) (x + 4)}$ .

$\frac{x (3 - x)}{(x - 4) ((x - 3) (x + 4))} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun à $3 - x$ et $x - 3$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{x (- 1 (- 3) - x)}{(x - 4) ((x - 3) (x + 4))} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 5.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{x (- 1 (- 3) - (x))}{(x - 4) ((x - 3) (x + 4))} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 3) - (x)$ .

$\frac{x (- 1 (- 3 + x))}{(x - 4) ((x - 3) (x + 4))} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 5.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x (- 1 (x - 3))}{(x - 4) (x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (- 1 (x - 3))}{(x - 4) (x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 5.3.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot (- 1)}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 5.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x^{3} - 64 x}{x - 10}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 64 x$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x^{2}) - 64 x}{x - 10}$

Étape 6.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 64 x$ .

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x^{2}) + 4 x (- 16)}{x - 10}$

Étape 6.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 16)$ .

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x^{2} - 16)}{x - 10}$

Étape 6.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x^{2} - 4^{2})}{x - 10}$

Étape 6.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x + 4) (x - 4)}{x - 10}$

Étape 7

Simplifiez les termes.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $(x + 4) (x - 4)$ .

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Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{(x - 4) (x + 4)}$ dans le numérateur.

$\frac{- x}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{4 x (x + 4) (x - 4)}{x - 10}$

Étape 7.1.2

Factorisez $(x + 4) (x - 4)$ à partir de $(x - 4) (x + 4)$ .

$\frac{- x}{(x + 4) (x - 4) (1)} \cdot \frac{4 x (x + 4) (x - 4)}{x - 10}$

Étape 7.1.3

Factorisez $(x + 4) (x - 4)$ à partir de $4 x (x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{- x}{(x + 4) (x - 4) (1)} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4) (4 x)}{x - 10}$

Étape 7.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x}{(x + 4) (x - 4) \cdot 1} \cdot \frac{(x + 4) (x - 4) (4 x)}{x - 10}$

Étape 7.1.5

Réécrivez l’expression.

$- x \frac{4 x}{x - 10}$

Étape 7.2

Associez $\frac{4 x}{x - 10}$ et $x$ .

$- \frac{4 x \cdot x}{x - 10}$

Étape 8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 (x^{1} x)}{x - 10}$

Étape 9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{4 (x^{1} x^{1})}{x - 10}$

Étape 10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{4 x^{1 + 1}}{x - 10}$

Étape 11

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{4 x^{2}}{x - 10}$