Algèbre Exemples

${(x^{2} + 1)}^{- 2} = 2 - {(x^{2} + 1)}^{- 2}$

Étape 1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 2 - {(x^{2} + 1)}^{- 2}$

Étape 2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 2 - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 2$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 2$

Étape 3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 2$

Étape 4

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

${(x^{2} + 1)}^{2}, 1$

Étape 4.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

${(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 5

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 2$ par ${(x^{2} + 1)}^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 2$ par ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} = 2 {(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} {(x^{2} + 1)}^{2} = 2 {(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 = 2 {(x^{2} + 1)}^{2}$

Étape 6

Résolvez l’équation.

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $2 {(x^{2} + 1)}^{2} = 2$ .

$2 {(x^{2} + 1)}^{2} = 2$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $2 {(x^{2} + 1)}^{2} = 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $2 {(x^{2} + 1)}^{2} = 2$ par $2$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ par $1$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = \frac{2}{2}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $2$ par $2$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 1$

Étape 6.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x^{2} + 1 = \pm \sqrt{1}$

Étape 6.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x^{2} + 1 = \pm 1$

Étape 6.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x^{2} + 1 = 1$

Étape 6.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1 - 1$

Étape 6.5.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$x^{2} = 0$

Étape 6.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.5.4.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.5.4.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.5.5

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x^{2} + 1 = - 1$

Étape 6.5.6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.5.6.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1 - 1$

Étape 6.5.6.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$x^{2} = - 2$

Étape 6.5.7

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 6.5.8

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Étape 6.5.8.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 6.5.8.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 6.5.8.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Étape 6.5.9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.5.9.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{2}$

Étape 6.5.9.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{2}$

Étape 6.5.9.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 6.5.10

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 0, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$