Algèbre Exemples

${(\frac{2}{3})}^{5 x + 1} = {(\frac{27}{8})}^{x - 4}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 1}) = \ln ({(\frac{27}{8})}^{x - 4})$

Étape 2

Développez $\ln ({(\frac{2}{3})}^{5 x + 1})$ en déplaçant $5 x + 1$ hors du logarithme.

$(5 x + 1) \ln (\frac{2}{3}) = \ln ({(\frac{27}{8})}^{x - 4})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{2}{3})$ comme $\ln (2) - \ln (3)$ .

$(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{27}{8})}^{x - 4})$

Étape 4

Développez $\ln ({(\frac{27}{8})}^{x - 4})$ en déplaçant $x - 4$ hors du logarithme.

$(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) \ln (\frac{27}{8})$

Étape 5

Réécrivez $\ln (\frac{27}{8})$ comme $\ln (27) - \ln (8)$ .

$(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - \ln (8))$

Étape 6

Réécrivez $\ln (8)$ comme $\ln (2^{3})$ .

$(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - \ln (2^{3}))$

Étape 7

Développez $\ln (2^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - (3 \ln (2)))$

Étape 8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Étape 9

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3))$ .

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Étape 9.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Étape 9.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Étape 9.1.3

Développez $(5 x + 1) (\ln (2) - \ln (3))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x (\ln (2) - \ln (3)) + 1 (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Étape 9.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 1 (\ln (2) - \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Étape 9.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (2) + 5 x (- \ln (3)) + 1 \ln (2) + 1 (- \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Étape 9.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x \ln (2) + 5 \cdot - 1 x \ln (3) + 1 \ln (2) + 1 (- \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Étape 9.1.4.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + 1 \ln (2) + 1 (- \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Étape 9.1.4.3

Multipliez $\ln (2)$ par $1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) + 1 (- \ln (3)) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Étape 9.1.4.4

Multipliez $- \ln (3)$ par $1$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = (x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Étape 9.2

Simplifiez $(x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$ .

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Étape 9.2.1

Développez $(x - 4) (\ln (27) - 3 \ln (2))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 9.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x (\ln (27) - 3 \ln (2)) - 4 (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Étape 9.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x \ln (27) + x (- 3 \ln (2)) - 4 (\ln (27) - 3 \ln (2))$

Étape 9.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x \ln (27) + x (- 3 \ln (2)) - 4 \ln (27) - 4 (- 3 \ln (2))$

Étape 9.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x \ln (27) - 3 x \ln (2) - 4 \ln (27) - 4 (- 3 \ln (2))$

Étape 9.2.2.2

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) = x \ln (27) - 3 x \ln (2) - 4 \ln (27) + 12 \ln (2)$

Étape 9.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 9.3.1

Soustrayez $x \ln (27)$ des deux côtés de l’équation.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) - x \ln (27) = - 3 x \ln (2) - 4 \ln (27) + 12 \ln (2)$

Étape 9.3.2

Ajoutez $3 x \ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x \ln (2) - 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) - x \ln (27) + 3 x \ln (2) = - 4 \ln (27) + 12 \ln (2)$

Étape 9.3.3

Additionnez $5 x \ln (2)$ et $3 x \ln (2)$ .

$- 5 x \ln (3) + \ln (2) - \ln (3) - x \ln (27) + 8 x \ln (2) = - 4 \ln (27) + 12 \ln (2)$

Étape 9.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.4.1

Soustrayez $\ln (2)$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 x \ln (3) - \ln (3) - x \ln (27) + 8 x \ln (2) = - 4 \ln (27) + 12 \ln (2) - \ln (2)$

Étape 9.4.2

Ajoutez $\ln (3)$ aux deux côtés de l’équation.

$- 5 x \ln (3) - x \ln (27) + 8 x \ln (2) = - 4 \ln (27) + 12 \ln (2) - \ln (2) + \ln (3)$

Étape 9.4.3

Soustrayez $\ln (2)$ de $12 \ln (2)$ .

$- 5 x \ln (3) - x \ln (27) + 8 x \ln (2) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$

Étape 9.5

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x \ln (3) - x \ln (27) + 8 x \ln (2)$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x \ln (3)$ .

$x (- 5 \ln (3)) - x \ln (27) + 8 x \ln (2) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$

Étape 9.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (27)$ .

$x (- 5 \ln (3)) + x (- 1 \ln (27)) + 8 x \ln (2) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$

Étape 9.5.3

Factorisez $x$ à partir de $8 x \ln (2)$ .

$x (- 5 \ln (3)) + x (- 1 \ln (27)) + x (8 \ln (2)) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$

Étape 9.5.4

Factorisez $x$ à partir de $x (- 5 \ln (3)) + x (- 1 \ln (27))$ .

$x (- 5 \ln (3) - 1 \ln (27)) + x (8 \ln (2)) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$

Étape 9.5.5

Factorisez $x$ à partir de $x (- 5 \ln (3) - 1 \ln (27)) + x (8 \ln (2))$ .

$x (- 5 \ln (3) - 1 \ln (27) + 8 \ln (2)) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$

Étape 9.6

Réécrivez $- 1 \ln (27)$ comme $- \ln (27)$ .

$x (- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$

Étape 9.7

Divisez chaque terme dans $x (- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$ par $- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 9.7.1

Divisez chaque terme dans $x (- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)) = - 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)$ par $- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)$ .

$\frac{x (- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2))}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} = \frac{- 4 \ln (27)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} + \frac{11 \ln (2)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Étape 9.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.7.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)$ .

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Étape 9.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 9.7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \ln (27)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} + \frac{11 \ln (2)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Étape 9.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{4 \ln (27)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} + \frac{11 \ln (2)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Étape 9.7.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 9.7.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 4 \ln (27) + 11 \ln (2)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)} + \frac{\ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Étape 9.7.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{- 4 \ln (27) + 11 \ln (2) + \ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Étape 9.7.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 \ln (27)$ .

$x = \frac{- (4 \ln (27)) + 11 \ln (2) + \ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Étape 9.7.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $11 \ln (2)$ .

$x = \frac{- (4 \ln (27)) - (- 11 \ln (2)) + \ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Étape 9.7.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 \ln (27)) - (- 11 \ln (2))$ .

$x = \frac{- (4 \ln (27) - 11 \ln (2)) + \ln (3)}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Étape 9.7.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (3)$ .

$x = \frac{- (4 \ln (27) - 11 \ln (2)) - 1 (- \ln (3))}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Étape 9.7.3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 \ln (27) - 11 \ln (2)) - 1 (- \ln (3))$ .

$x = \frac{- (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Étape 9.7.3.2.8

Réécrivez $- (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))$ comme $- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))$ .

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- 5 \ln (3) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Étape 9.7.3.2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 \ln (3)$ .

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- (5 \ln (3)) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Étape 9.7.3.2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (27)$ .

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- (5 \ln (3)) - \ln (27) + 8 \ln (2)}$

Étape 9.7.3.2.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 \ln (3)) - \ln (27)$ .

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- (5 \ln (3) + \ln (27)) + 8 \ln (2)}$

Étape 9.7.3.2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $8 \ln (2)$ .

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- (5 \ln (3) + \ln (27)) - (- 8 \ln (2))}$

Étape 9.7.3.2.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 \ln (3) + \ln (27)) - (- 8 \ln (2))$ .

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- (5 \ln (3) + \ln (27) - 8 \ln (2))}$

Étape 9.7.3.2.14

Réécrivez $- (5 \ln (3) + \ln (27) - 8 \ln (2))$ comme $- 1 (5 \ln (3) + \ln (27) - 8 \ln (2))$ .

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- 1 (5 \ln (3) + \ln (27) - 8 \ln (2))}$

Étape 9.7.3.2.15

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 1 (4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3))}{- 1 (5 \ln (3) + \ln (27) - 8 \ln (2))}$

Étape 9.7.3.2.16

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3)}{5 \ln (3) + \ln (27) - 8 \ln (2)}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{4 \ln (27) - 11 \ln (2) - \ln (3)}{5 \ln (3) + \ln (27) - 8 \ln (2)}$

Forme décimale :

$x = 1.375$