Algèbre Exemples

${(\sqrt{\frac{1}{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 2

Toute racine de $1$ est $1$ .

${(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 4

Associez les fractions.

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Étape 4.1

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 4.1.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 4.1.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 4.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 4.1.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 4.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 4.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 4.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 4.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{\sqrt{2}}{2^{1}})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 4.1.6.5

Évaluez l’exposant.

${(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 5.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2^{3}} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 5.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 5.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 5.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{8} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2})}{8} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 7

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{3}$

Étape 8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}^{3}$

Étape 8.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}^{3}$

Étape 8.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}^{3}$

Étape 8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}^{3}$

Étape 8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}^{3}$

Étape 8.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{3}$

Étape 8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{3}$

Étape 8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{3}$

Étape 8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}^{3}$

Étape 8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}})}^{3}$

Étape 8.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{2}}{4} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{3}$

Étape 9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 9.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{{(2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}$

Étape 9.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}$

Étape 10

Associez.

$\frac{\sqrt{2} (2^{3} {\sqrt{3}}^{3})}{4 \cdot 3^{3}}$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8 {\sqrt{3}}^{3}}{4 \cdot 3^{3}}$

Étape 11.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8 \sqrt{3^{3}}}{4 \cdot 3^{3}}$

Étape 11.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8 \sqrt{27}}{4 \cdot 3^{3}}$

Étape 11.4

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 11.4.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8 \sqrt{9 (3)}}{4 \cdot 3^{3}}$

Étape 11.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{4 \cdot 3^{3}}$

Étape 11.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{2} \cdot 8 \cdot 3 \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{3}}$

Étape 11.6

Associez les exposants.

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Étape 11.6.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{\sqrt{2} \cdot 24 \sqrt{3}}{4 \cdot 3^{3}}$

Étape 11.6.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{24 \sqrt{2 \cdot 3}}{4 \cdot 3^{3}}$

Étape 11.6.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{24 \sqrt{6}}{4 \cdot 3^{3}}$

Étape 12

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 12.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{24 \sqrt{6}}{4 \cdot 27}$

Étape 12.2

Multipliez $4$ par $27$ .

$\frac{24 \sqrt{6}}{108}$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun à $24$ et $108$ .

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Étape 12.3.1

Factorisez $12$ à partir de $24 \sqrt{6}$ .

$\frac{12 (2 \sqrt{6})}{108}$

Étape 12.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.3.2.1

Factorisez $12$ à partir de $108$ .

$\frac{12 (2 \sqrt{6})}{12 (9)}$

Étape 12.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 (2 \sqrt{6})}{12 \cdot 9}$

Étape 12.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

Forme décimale :

$0.54433105 \dots$