Algèbre Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$ comme une équation.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{- \frac{y}{2}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{- \frac{y}{2}} = x$ .

$\sqrt[3]{- \frac{y}{2}} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{- \frac{y}{2}}}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{- \frac{y}{2}}$ comme ${(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- \frac{y}{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- \frac{y}{2})}^{1} = x^{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$- \frac{y}{2} = x^{3}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 x^{3}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 x^{3}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 x^{3}$

Étape 3.4.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 x^{3}$

Étape 3.4.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - y = - 2 x^{3}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez.

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Étape 3.4.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - 2 x^{3}$

Étape 3.4.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - 2 x^{3}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(\sqrt[3]{- \frac{x}{2}})}^{3}$

Étape 5.2.3

Réécrivez $- \frac{x}{2}$ comme ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x}{2}$ .

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Étape 5.2.3.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {\sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{x}{2})}}^{3}$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {\sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{x}{2})}}^{3}$

Étape 5.2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{x}{2}})}^{3}$

Étape 5.2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \sqrt[3]{\frac{x}{2}})}^{3}$

Étape 5.2.6

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{x}{2}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}})}^{3}$

Étape 5.2.7

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- (\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}))}^{3}$

Étape 5.2.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})}^{3}$

Étape 5.2.8.2

Élevez $\sqrt[3]{2}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}})}^{3}$

Étape 5.2.8.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}})}^{3}$

Étape 5.2.8.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}})}^{3}$

Étape 5.2.8.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

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Étape 5.2.8.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}})}^{3}$

Étape 5.2.8.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}})}^{3}$

Étape 5.2.8.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})}^{3}$

Étape 5.2.8.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.8.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}})}^{3}$

Étape 5.2.8.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})}^{3}$

Étape 5.2.8.5.5

Évaluez l’exposant.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2})}^{3}$

Étape 5.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.9.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{2^{2}}}{2})}^{3}$

Étape 5.2.9.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{4}}{2})}^{3}$

Étape 5.2.10

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2})}^{3}$

Étape 5.2.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.11.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2})}^{3})$

Étape 5.2.11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 4}}{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{x \cdot 4}}^{3}}{2^{3}}))$

Étape 5.2.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{\sqrt[3]{x \cdot 4}}^{3}}{2^{3}})$

Étape 5.2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.13.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{x \cdot 4}}^{3}$ comme $x \cdot 4$ .

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Étape 5.2.13.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x \cdot 4}$ comme ${(x \cdot 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{({(x \cdot 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}})$

Étape 5.2.13.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{(x \cdot 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}})$

Étape 5.2.13.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{(x \cdot 4)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Étape 5.2.13.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.13.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{{(x \cdot 4)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}})$

Étape 5.2.13.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{x \cdot 4}{2^{3}})$

Étape 5.2.13.1.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{x \cdot 4}{2^{3}})$

Étape 5.2.13.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{4 x}{2^{3}})$

Étape 5.2.14

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.14.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 (- \frac{4 x}{8})$

Étape 5.2.14.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.14.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 x}{8}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 2 \frac{- 4 x}{8}$

Étape 5.2.14.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 2 (- 1) (\frac{- 4 x}{8})$

Étape 5.2.14.2.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{2 \cdot 4})$

Étape 5.2.14.2.4

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 x}{2 \cdot 4})$

Étape 5.2.14.2.5

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{- 4 x}{4}$

Étape 5.2.14.3

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $4$ .

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Étape 5.2.14.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4}$

Étape 5.2.14.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.14.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4 (1)}$

Étape 5.2.14.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{4 (- x)}{4 \cdot 1}$

Étape 5.2.14.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 \frac{- x}{1}$

Étape 5.2.14.3.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = - 1 (- x)$

Étape 5.2.15

Multipliez $- 1 (- x)$ .

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Étape 5.2.15.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = 1 x$

Étape 5.2.15.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{- \frac{x}{2}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- 2 x^{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{- 2 x^{3}}{2}}$

Étape 5.3.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1

Réduisez l’expression $\frac{- 2 x^{3}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{2 (- x^{3})}{2}}$

Étape 5.3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{2 (- x^{3})}{2 (1)}}$

Étape 5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{2 (- x^{3})}{2 \cdot 1}}$

Étape 5.3.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{- \frac{- x^{3}}{1}}$

Étape 5.3.3.2

Divisez $- x^{3}$ par $1$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{1 x^{3}}$

Étape 5.3.4

Associez les exposants.

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Étape 5.3.4.1

Factorisez le signe négatif.

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 5.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{1 x^{3}}$

Étape 5.3.4.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$f (- 2 x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Étape 5.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (- 2 x^{3}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{- \frac{x}{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = - 2 x^{3}$