Algèbre Exemples

$\log_{4} (2 m^{3} - 14 m^{2}) - \log_{4} (2 m) = \log_{4} (8)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{3} - 14 m^{2}}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Étape 1.2

Factorisez $2 m^{2}$ à partir de $2 m^{3} - 14 m^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $2 m^{2}$ à partir de $2 m^{3}$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m) - 14 m^{2}}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Étape 1.2.2

Factorisez $2 m^{2}$ à partir de $- 14 m^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m) + 2 m^{2} (- 7)}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Étape 1.2.3

Factorisez $2 m^{2}$ à partir de $2 m^{2} (m) + 2 m^{2} (- 7)$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m - 7)}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m - 7)}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{4} (\frac{m^{2} (m - 7)}{m}) = \log_{4} (8)$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $m^{2}$ et $m$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $m$ à partir de $m^{2} (m - 7)$ .

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m}) = \log_{4} (8)$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Élevez $m$ à la puissance $1$ .

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m}) = \log_{4} (8)$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $m$ à partir de $m^{1}$ .

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m \cdot 1}) = \log_{4} (8)$

Étape 1.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m \cdot 1}) = \log_{4} (8)$

Étape 1.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\log_{4} (\frac{m (m - 7)}{1}) = \log_{4} (8)$

Étape 1.4.2.5

Divisez $m (m - 7)$ par $1$ .

$\log_{4} (m (m - 7)) = \log_{4} (8)$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\log_{4} (m \cdot m + m \cdot - 7) = \log_{4} (8)$

Étape 1.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.6.1

Multipliez $m$ par $m$ .

$\log_{4} (m^{2} + m \cdot - 7) = \log_{4} (8)$

Étape 1.6.2

Déplacez $- 7$ à gauche de $m$ .

$\log_{4} (m^{2} - 7 m) = \log_{4} (8)$

Étape 2

La base logarithmique $4$ de $8$ est $\frac{3}{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez comme une équation.

$\log_{4} (8) = x$

Étape 2.2

Réécrivez $\log_{4} (8) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$4^{x} = 8$

Étape 2.3

Créez dans l’équation des expressions qui ont toutes des bases égales.

${(2^{2})}^{x} = 2^{3}$

Étape 2.4

Réécrivez ${(2^{2})}^{x}$ comme $2^{2 x}$ .

$2^{2 x} = 2^{3}$

Étape 2.5

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$2 x = 3$

Étape 2.6

Résolvez $x$ .

$x = \frac{3}{2}$

Étape 2.7

La variable $x$ est égale à $\frac{3}{2}$ .

$\log_{4} (m^{2} - 7 m) = \frac{3}{2}$

Étape 3

Réécrivez $\log_{4} (m^{2} - 7 m) = \frac{3}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$4^{\frac{3}{2}} = m^{2} - 7 m$

Étape 4

Résolvez $m$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $m^{2} - 7 m = 4^{\frac{3}{2}}$ .

$m^{2} - 7 m = 4^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez $4^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$m^{2} - 7 m = {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Étape 4.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m^{2} - 7 m = 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$m^{2} - 7 m = 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$m^{2} - 7 m = 2^{3}$

Étape 4.2.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$m^{2} - 7 m = 8$

Étape 4.3

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$m^{2} - 7 m - 8 = 0$

Étape 4.4

Factorisez $m^{2} - 7 m - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $- 7$ .

$- 8, 1$

Étape 4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(m - 8) (m + 1) = 0$

Étape 4.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$m - 8 = 0$

$m + 1 = 0$

Étape 4.6

Définissez $m - 8$ égal à $0$ et résolvez $m$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $m - 8$ égal à $0$ .

$m - 8 = 0$

Étape 4.6.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$m = 8$

Étape 4.7

Définissez $m + 1$ égal à $0$ et résolvez $m$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $m + 1$ égal à $0$ .

$m + 1 = 0$

Étape 4.7.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$m = - 1$

Étape 4.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(m - 8) (m + 1) = 0$ vraie.

$m = 8, - 1$

Étape 5

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{4} (2 m^{3} - 14 m^{2}) - \log_{4} (2 m) = \log_{4} (8)$ vrai.

$m = 8$