Algèbre Exemples

$(4 x^{5} + x^{3} - 7 x^{2} + 2) (3 x - 1)$

Étape 1

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$a x^{2} + b x + c$

Étape 2

Développez $(4 x^{5} + x^{3} - 7 x^{2} + 2) (3 x - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$4 x^{5} (3 x) + 4 x^{5} \cdot - 1 + x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 1 - 7 x^{2} (3 x) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \cdot 3 x^{5} x + 4 x^{5} \cdot - 1 + x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 1 - 7 x^{2} (3 x) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.2

Multipliez $x^{5}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$4 \cdot 3 (x \cdot x^{5}) + 4 x^{5} \cdot - 1 + x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 1 - 7 x^{2} (3 x) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{5}$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \cdot 3 (x^{1} x^{5}) + 4 x^{5} \cdot - 1 + x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 1 - 7 x^{2} (3 x) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \cdot 3 x^{1 + 5} + 4 x^{5} \cdot - 1 + x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 1 - 7 x^{2} (3 x) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.2.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$4 \cdot 3 x^{6} + 4 x^{5} \cdot - 1 + x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 1 - 7 x^{2} (3 x) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{6} + 4 x^{5} \cdot - 1 + x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 1 - 7 x^{2} (3 x) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$12 x^{6} - 4 x^{5} + x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 1 - 7 x^{2} (3 x) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 - 7 x^{2} (3 x) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.6

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.6.1

Déplacez $x$ .

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 1 - 7 x^{2} (3 x) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.6.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 3.1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 1 - 7 x^{2} (3 x) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 1 - 7 x^{2} (3 x) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.6.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} + x^{3} \cdot - 1 - 7 x^{2} (3 x) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.7

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{3}$ .

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} - 1 \cdot x^{3} - 7 x^{2} (3 x) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.8

Réécrivez $- 1 x^{3}$ comme $- x^{3}$ .

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} - x^{3} - 7 x^{2} (3 x) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} - x^{3} - 7 \cdot 3 x^{2} x - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.10

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.10.1

Déplacez $x$ .

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} - x^{3} - 7 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.10.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.1.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} - x^{3} - 7 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} - x^{3} - 7 \cdot 3 x^{1 + 2} - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.10.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} - x^{3} - 7 \cdot 3 x^{3} - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.11

Multipliez $- 7$ par $3$ .

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} - x^{3} - 21 x^{3} - 7 x^{2} \cdot - 1 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.12

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} - x^{3} - 21 x^{3} + 7 x^{2} + 2 (3 x) + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.13

Multipliez $3$ par $2$ .

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} - x^{3} - 21 x^{3} + 7 x^{2} + 6 x + 2 \cdot - 1$

Étape 3.1.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} - x^{3} - 21 x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 2$

Étape 3.2

Soustrayez $21 x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$12 x^{6} - 4 x^{5} + 3 x^{4} - 22 x^{3} + 7 x^{2} + 6 x - 2$