Algèbre Exemples

$(\frac{2 - 3 i}{1 + i}) \cdot (\frac{3 + 2 i}{3 i})$

Étape 1

Multipliez $\frac{2 - 3 i}{1 + i}$ par $\frac{3 + 2 i}{3 i}$ .

$\frac{(2 - 3 i) (3 + 2 i)}{(1 + i) (3 i)}$

Étape 2

Développez $(2 - 3 i) (3 + 2 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (3 + 2 i) - 3 i (3 + 2 i)}{(1 + i) \cdot 3 i}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 i) - 3 i (3 + 2 i)}{(1 + i) \cdot 3 i}$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 i) - 3 i \cdot 3 - 3 i (2 i)}{(1 + i) \cdot 3 i}$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{6 + 2 (2 i) - 3 i \cdot 3 - 3 i (2 i)}{(1 + i) \cdot 3 i}$

Étape 3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{6 + 4 i - 3 i \cdot 3 - 3 i (2 i)}{(1 + i) \cdot 3 i}$

Étape 3.1.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\frac{6 + 4 i - 9 i - 3 i (2 i)}{(1 + i) \cdot 3 i}$

Étape 3.1.4

Multipliez $- 3 i (2 i)$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{6 + 4 i - 9 i - 6 i i}{(1 + i) \cdot 3 i}$

Étape 3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 4 i - 9 i - 6 (i^{1} i)}{(1 + i) \cdot 3 i}$

Étape 3.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 + 4 i - 9 i - 6 (i^{1} i^{1})}{(1 + i) \cdot 3 i}$

Étape 3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 + 4 i - 9 i - 6 i^{1 + 1}}{(1 + i) \cdot 3 i}$

Étape 3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{6 + 4 i - 9 i - 6 i^{2}}{(1 + i) \cdot 3 i}$

Étape 3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{6 + 4 i - 9 i - 6 \cdot - 1}{(1 + i) \cdot 3 i}$

Étape 3.1.6

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{6 + 4 i - 9 i + 6}{(1 + i) \cdot 3 i}$

Étape 3.2

Additionnez $6$ et $6$ .

$\frac{12 + 4 i - 9 i}{(1 + i) \cdot 3 i}$

Étape 3.3

Soustrayez $9 i$ de $4 i$ .

$\frac{12 - 5 i}{(1 + i) \cdot 3 i}$

Étape 4

Regroupez $i$ et $1 + i$ .

$\frac{12 - 5 i}{i (1 + i) \cdot 3}$

Étape 5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 - 5 i}{(i \cdot 1 + i i) \cdot 3}$

Étape 6

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{12 - 5 i}{(i + i i) \cdot 3}$

Étape 7

Multipliez $i i$ .

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Étape 7.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 - 5 i}{(i + i^{1} i) \cdot 3}$

Étape 7.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{12 - 5 i}{(i + i^{1} i^{1}) \cdot 3}$

Étape 7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{12 - 5 i}{(i + i^{1 + 1}) \cdot 3}$

Étape 7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{12 - 5 i}{(i + i^{2}) \cdot 3}$

Étape 8

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{12 - 5 i}{(i - 1) \cdot 3}$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Remettez dans l’ordre $i$ et $- 1$ .

$\frac{12 - 5 i}{(- 1 + i) \cdot 3}$

Étape 9.2

Déplacez $3$ à gauche de $- 1 + i$ .

$\frac{12 - 5 i}{3 \cdot (- 1 + i)}$

Étape 10

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{12 - 5 i}{3 (- 1 (1) + i)}$

Étape 11

Factorisez $- 1$ à partir de $i$ .

$\frac{12 - 5 i}{3 (- 1 (1) - 1 (- i))}$

Étape 12

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- i)$ .

$\frac{12 - 5 i}{3 (- 1 (1 - i))}$

Étape 13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12 - 5 i}{3 (1 - i)}$