Algèbre Exemples

$a^{2} - \frac{a^{4} + 1}{a^{2} - 1} + 1$

Étape 1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.1

Écrivez $a^{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{a^{2}}{1} - \frac{a^{4} + 1}{a^{2} - 1} + 1$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{a^{2}}{1}$ par $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{a^{2}}{1} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1} - \frac{a^{4} + 1}{a^{2} - 1} + 1$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{a^{2}}{1}$ par $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{a^{2} (a^{2} - 1)}{a^{2} - 1} - \frac{a^{4} + 1}{a^{2} - 1} + 1$

Étape 1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{a^{2} (a^{2} - 1)}{a^{2} - 1} - \frac{a^{4} + 1}{a^{2} - 1} + \frac{1}{1}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{a^{2} (a^{2} - 1)}{a^{2} - 1} - \frac{a^{4} + 1}{a^{2} - 1} + \frac{1}{1} \cdot \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$ .

$\frac{a^{2} (a^{2} - 1)}{a^{2} - 1} - \frac{a^{4} + 1}{a^{2} - 1} + \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{a^{2} (a^{2} - 1) - (a^{4} + 1) + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{2} a^{2} + a^{2} \cdot - 1 - (a^{4} + 1) + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 2.2.2

Multipliez $a^{2}$ par $a^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{a^{2 + 2} + a^{2} \cdot - 1 - (a^{4} + 1) + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{a^{4} + a^{2} \cdot - 1 - (a^{4} + 1) + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 2.2.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $a^{2}$ .

$\frac{a^{4} - 1 \cdot a^{2} - (a^{4} + 1) + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 2.2.4

Réécrivez $- 1 a^{2}$ comme $- a^{2}$ .

$\frac{a^{4} - a^{2} - (a^{4} + 1) + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 2.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a^{4} - a^{2} - a^{4} - 1 \cdot 1 + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 2.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{a^{4} - a^{2} - a^{4} - 1 + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 2.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.3.1

Associez les termes opposés dans $a^{4} - a^{2} - a^{4} - 1 + a^{2} - 1$ .

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Étape 2.3.1.1

Soustrayez $a^{4}$ de $a^{4}$ .

$\frac{- a^{2} + 0 - 1 + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 2.3.1.2

Additionnez $- a^{2}$ et $0$ .

$\frac{- a^{2} - 1 + a^{2} - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 2.3.1.3

Additionnez $- a^{2}$ et $a^{2}$ .

$\frac{0 - 1 - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 2.3.1.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 1}{a^{2} - 1}$

Étape 2.3.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{a^{2} - 1}$

Étape 3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{- 2}{a^{2} - 1^{2}}$

Étape 3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 1$ .

$\frac{- 2}{(a + 1) (a - 1)}$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{(a + 1) (a - 1)}$