Algèbre Exemples

$v = \sqrt{2 g r} \cdot \sqrt{\frac{h}{r + h}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{2 g r} \cdot \sqrt{\frac{h}{r + h}} = v$ .

$\sqrt{2 g r} \cdot \sqrt{\frac{h}{r + h}} = v$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(\sqrt{2 g r} \cdot \sqrt{\frac{h}{r + h}})}^{2} = v^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{h}{r + h}}$ comme ${(\frac{h}{r + h})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(\sqrt{2 g r} \cdot {(\frac{h}{r + h})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = v^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(\sqrt{2 g r} \cdot {(\frac{h}{r + h})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{h}{r + h}$ .

${(\frac{\sqrt{2 g r} h^{\frac{1}{2}}}{{(r + h)}^{\frac{1}{2}}})}^{2} = v^{2}$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2 g r} h^{\frac{1}{2}}}{{(r + h)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(\sqrt{2 g r} h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Étape 3.2.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{2 g r} h^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\sqrt{2 g r}}^{2} {(h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.1.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2 g r}}^{2}$ comme $2 g r$ .

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Étape 3.2.1.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 g r}$ comme ${(2 g r)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 g r)}^{\frac{1}{2}})}^{2} {(h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Étape 3.2.1.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 g r)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Étape 3.2.1.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{{(2 g r)}^{\frac{2}{2}} {(h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Étape 3.2.1.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(2 g r)}^{\frac{2}{2}} {(h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Étape 3.2.1.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(2 g r)}^{1} {(h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Étape 3.2.1.3.1.5

Simplifiez

$\frac{2 g r {(h^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(h^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 g r h^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Étape 3.2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 g r h^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Étape 3.2.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 g r h^{1}}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Étape 3.2.1.3.3

Simplifiez

$\frac{2 g r h}{{({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = v^{2}$

Étape 3.2.1.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1.4.1

Multipliez les exposants dans ${({(r + h)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 g r h}{{(r + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = v^{2}$

Étape 3.2.1.4.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 g r h}{{(r + h)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = v^{2}$

Étape 3.2.1.4.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 g r h}{{(r + h)}^{1}} = v^{2}$

Étape 3.2.1.4.2

Simplifiez

$\frac{2 g r h}{r + h} = v^{2}$

Étape 4

Résolvez $h$ .

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Étape 4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$r + h, 1$

Étape 4.1.2

Supprimez les parenthèses.

$r + h, 1$

Étape 4.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$r + h$

Étape 4.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{2 g r h}{r + h} = v^{2}$ par $r + h$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2 g r h}{r + h} = v^{2}$ par $r + h$ .

$\frac{2 g r h}{r + h} (r + h) = v^{2} (r + h)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $r + h$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 g r h}{r + h} (r + h) = v^{2} (r + h)$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 g r h = v^{2} (r + h)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 g r h = v^{2} r + v^{2} h$

Étape 4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $v^{2} h$ des deux côtés de l’équation.

$2 g r h - v^{2} h = v^{2} r$

Étape 4.3.2

Factorisez $h$ à partir de $2 g r h - v^{2} h$ .

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $h$ à partir de $2 g r h$ .

$h (2 g r) - v^{2} h = v^{2} r$

Étape 4.3.2.2

Factorisez $h$ à partir de $- v^{2} h$ .

$h (2 g r) + h (- v^{2}) = v^{2} r$

Étape 4.3.2.3

Factorisez $h$ à partir de $h (2 g r) + h (- v^{2})$ .

$h (2 g r - v^{2}) = v^{2} r$

Étape 4.3.3

Divisez chaque terme dans $h (2 g r - v^{2}) = v^{2} r$ par $2 g r - v^{2}$ et simplifiez.

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Étape 4.3.3.1

Divisez chaque terme dans $h (2 g r - v^{2}) = v^{2} r$ par $2 g r - v^{2}$ .

$\frac{h (2 g r - v^{2})}{2 g r - v^{2}} = \frac{v^{2} r}{2 g r - v^{2}}$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 g r - v^{2}$ .

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Étape 4.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (2 g r - v^{2})}{2 g r - v^{2}} = \frac{v^{2} r}{2 g r - v^{2}}$

Étape 4.3.3.2.1.2

Divisez $h$ par $1$ .

$h = \frac{v^{2} r}{2 g r - v^{2}}$