Algèbre Exemples

$4 x^{5} - 100 x^{\frac{13}{3}} = 0$

Étape 1

Déterminez un facteur commun $x^{\frac{13}{3}}$ présent dans chaque terme.

$4 {(x^{\frac{13}{3}})}^{\frac{15}{13}} - 100 x^{\frac{13}{3}}$

Étape 2

Remplacez $x^{\frac{13}{3}}$ par $u$ .

$4 {(u)}^{\frac{15}{13}} - 100 u = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1.1

Factorisez $4 u$ à partir de $4 u^{\frac{15}{13}} - 100 u$ .

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Étape 3.1.1.1

Factorisez $4 u$ à partir de $4 u^{\frac{15}{13}}$ .

$4 u (u^{\frac{2}{13}}) - 100 u = 0$

Étape 3.1.1.2

Factorisez $4 u$ à partir de $- 100 u$ .

$4 u (u^{\frac{2}{13}}) + 4 u (- 25) = 0$

Étape 3.1.1.3

Factorisez $4 u$ à partir de $4 u (u^{\frac{2}{13}}) + 4 u (- 25)$ .

$4 u (u^{\frac{2}{13}} - 25) = 0$

Étape 3.1.2

Réécrivez $u^{\frac{2}{13}}$ comme ${(u^{\frac{1}{13}})}^{2}$ .

$4 u ({(u^{\frac{1}{13}})}^{2} - 25) = 0$

Étape 3.1.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$4 u ({(u^{\frac{1}{13}})}^{2} - 5^{2}) = 0$

Étape 3.1.4

Factorisez.

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Étape 3.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = u^{\frac{1}{13}}$ et $b = 5$ .

$4 u ((u^{\frac{1}{13}} + 5) (u^{\frac{1}{13}} - 5)) = 0$

Étape 3.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 u (u^{\frac{1}{13}} + 5) (u^{\frac{1}{13}} - 5) = 0$

Étape 3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{1}{13}} + 5 = 0$

$u^{\frac{1}{13}} - 5 = 0$

Étape 3.3

Définissez $u$ égal à $0$ .

$u = 0$

Étape 3.4

Définissez $u^{\frac{1}{13}} + 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.4.1

Définissez $u^{\frac{1}{13}} + 5$ égal à $0$ .

$u^{\frac{1}{13}} + 5 = 0$

Étape 3.4.2

Résolvez $u^{\frac{1}{13}} + 5 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.4.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$u^{\frac{1}{13}} = - 5$

Étape 3.4.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $13$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(u^{\frac{1}{13}})}^{13} = {(- 5)}^{13}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1.1

Simplifiez ${(u^{\frac{1}{13}})}^{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{13}})}^{13}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{13} \cdot 13} = {(- 5)}^{13}$

Étape 3.4.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $13$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{\frac{1}{13} \cdot 13} = {(- 5)}^{13}$

Étape 3.4.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{1} = {(- 5)}^{13}$

Étape 3.4.2.3.1.1.2

Simplifiez

$u = {(- 5)}^{13}$

Étape 3.4.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $13$ .

$u = - 1220703125$

Étape 3.5

Définissez $u^{\frac{1}{13}} - 5$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $u^{\frac{1}{13}} - 5$ égal à $0$ .

$u^{\frac{1}{13}} - 5 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $u^{\frac{1}{13}} - 5 = 0$ pour $u$ .

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Étape 3.5.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$u^{\frac{1}{13}} = 5$

Étape 3.5.2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $13$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(u^{\frac{1}{13}})}^{13} = 5^{13}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.2.3.1.1

Simplifiez ${(u^{\frac{1}{13}})}^{13}$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{13}})}^{13}$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{13} \cdot 13} = 5^{13}$

Étape 3.5.2.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $13$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{\frac{1}{13} \cdot 13} = 5^{13}$

Étape 3.5.2.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{1} = 5^{13}$

Étape 3.5.2.3.1.1.2

Simplifiez

$u = 5^{13}$

Étape 3.5.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.2.1

Élevez $5$ à la puissance $13$ .

$u = 1220703125$

Étape 3.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 u (u^{\frac{1}{13}} + 5) (u^{\frac{1}{13}} - 5) = 0$ vraie.

$u = 0, - 1220703125, 1220703125$

Étape 4

Remplacez $u$ par $x$ .

$x^{\frac{13}{3}} = 0, - 1220703125, 1220703125$

Étape 5

Résolvez $x^{\frac{13}{3}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{13}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{13}{3}})}^{\frac{3}{13}} = 0^{\frac{3}{13}}$

Étape 5.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{13}{3}})}^{\frac{3}{13}}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{13}{3}})}^{\frac{3}{13}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{13}{3} \cdot \frac{3}{13}} = 0^{\frac{3}{13}}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{13}{3} \cdot \frac{3}{13}} = 0^{\frac{3}{13}}$

Étape 5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{\frac{3}{13}}$

Étape 5.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{\frac{3}{13}}$

Étape 5.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{\frac{3}{13}}$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez

$x = 0^{\frac{3}{13}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $0^{\frac{3}{13}}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{13}$ .

$x = {(0^{13})}^{\frac{3}{13}}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 0^{13 (\frac{3}{13})}$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $13$ .

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Étape 5.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = 0^{13 (\frac{3}{13})}$

Étape 5.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = 0^{3}$

Étape 5.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Résolvez $x^{\frac{13}{3}} = - 1220703125$ pour $x$ .

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Étape 6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{13}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{13}{3}})}^{\frac{3}{13}} = {(- 1220703125)}^{\frac{3}{13}}$

Étape 6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{13}{3}})}^{\frac{3}{13}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{13}{3}})}^{\frac{3}{13}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{13}{3} \cdot \frac{3}{13}} = {(- 1220703125)}^{\frac{3}{13}}$

Étape 6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{13}{3} \cdot \frac{3}{13}} = {(- 1220703125)}^{\frac{3}{13}}$

Étape 6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1220703125)}^{\frac{3}{13}}$

Étape 6.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1220703125)}^{\frac{3}{13}}$

Étape 6.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(- 1220703125)}^{\frac{3}{13}}$

Étape 6.2.1.1.2

Simplifiez

$x = {(- 1220703125)}^{\frac{3}{13}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez ${(- 1220703125)}^{\frac{3}{13}}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1

Réécrivez $- 1220703125$ comme ${(- 5)}^{13}$ .

$x = {({(- 5)}^{13})}^{\frac{3}{13}}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 5)}^{13 (\frac{3}{13})}$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = {(- 5)}^{13 (\frac{3}{13})}$

Étape 6.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = {(- 5)}^{3}$

Étape 6.2.2.1.3

Élevez $- 5$ à la puissance $3$ .

$x = - 125$

Étape 7

Résolvez $x^{\frac{13}{3}} = 1220703125$ pour $x$ .

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Étape 7.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{13}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{13}{3}})}^{\frac{3}{13}} = 1220703125^{\frac{3}{13}}$

Étape 7.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{13}{3}})}^{\frac{3}{13}}$ .

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Étape 7.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{13}{3}})}^{\frac{3}{13}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{13}{3} \cdot \frac{3}{13}} = 1220703125^{\frac{3}{13}}$

Étape 7.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{13}{3} \cdot \frac{3}{13}} = 1220703125^{\frac{3}{13}}$

Étape 7.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1220703125^{\frac{3}{13}}$

Étape 7.2.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1220703125^{\frac{3}{13}}$

Étape 7.2.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 1220703125^{\frac{3}{13}}$

Étape 7.2.1.1.2

Simplifiez

$x = 1220703125^{\frac{3}{13}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Simplifiez $1220703125^{\frac{3}{13}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1.1

Réécrivez $1220703125$ comme $5^{13}$ .

$x = {(5^{13})}^{\frac{3}{13}}$

Étape 7.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 5^{13 (\frac{3}{13})}$

Étape 7.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = 5^{13 (\frac{3}{13})}$

Étape 7.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = 5^{3}$

Étape 7.2.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$x = 125$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$x = 0, - 125, 125$

Étape 9

Excluez les solutions qui ne rendent pas $4 x^{5} - 100 x^{\frac{13}{3}} = 0$ vrai.

$x = 0$

Étape 10