Algèbre Exemples

$2 \sin^{2} (θ) - 1 = 0$ , $0 \leq θ < 2 π$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin^{2} (θ) = 1$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $2 \sin^{2} (θ) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin^{2} (θ) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin^{2} (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (θ)$ par $1$ .

$\sin^{2} (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sin (θ) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 4.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 4.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (θ) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 7

Résolvez $θ$ dans $\sin (θ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Étape 7.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = π - \frac{π}{4}$

Étape 7.4

Simplifiez $π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 7.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 7.4.2

Associez les fractions.

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Étape 7.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 7.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 7.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.6

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Résolvez $θ$ dans $\sin (θ) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 8.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Étape 8.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Étape 8.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Étape 8.4.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{4}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Étape 8.5

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Étape 8.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 8.6.3

Associez les fractions.

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Étape 8.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 8.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 8.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.6.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Étape 8.6.4.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Étape 8.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = \frac{7 π}{4}$

Étape 8.7

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Indiquez toutes les solutions.

$θ = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les réponses.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $[0, 2 π)$ .

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Étape 11.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 11.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (0)}{2}$

Étape 11.1.2

Simplifiez

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Étape 11.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.2.1.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 11.1.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $π (0)$ .

$\frac{π}{4} + \frac{2 (π \cdot (0))}{2}$

Étape 11.1.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.1.2.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{2 (π \cdot (0))}{2 (1)}$

Étape 11.1.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π}{4} + \frac{2 (π \cdot (0))}{2 \cdot 1}$

Étape 11.1.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot (0)}{1}$

Étape 11.1.2.1.1.2.4

Divisez $π \cdot (0)$ par $1$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot (0)$

Étape 11.1.2.1.2

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{π}{4} + 0$

Étape 11.1.2.2

Additionnez $\frac{π}{4}$ et $0$ .

$\frac{π}{4}$

Étape 11.1.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Étape 11.2

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 11.2.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (1)}{2}$

Étape 11.2.2

Simplifiez

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Étape 11.2.2.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 11.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.2.2.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 11.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Étape 11.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + π \cdot 2}{4}$

Étape 11.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.2.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Étape 11.2.2.5.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 11.2.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Étape 11.3

Insérez $2$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 11.3.1

Insérez $2$ pour $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (2)}{2}$

Étape 11.3.2

Simplifiez

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Étape 11.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Étape 11.3.2.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$\frac{π}{4} + π$

Étape 11.3.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot \frac{4}{4}$

Étape 11.3.2.3

Associez les fractions.

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Étape 11.3.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 4}{4}$

Étape 11.3.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + π \cdot 4}{4}$

Étape 11.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.2.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{π + 4 \cdot π}{4}$

Étape 11.3.2.4.2

Additionnez $π$ et $4 π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Étape 11.3.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Étape 11.4

Insérez $3$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 11.4.1

Insérez $3$ pour $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (3)}{2}$

Étape 11.4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.4.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π}{2}$

Étape 11.4.2.2

Pour écrire $\frac{3 π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 11.4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 11.4.2.3.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 11.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π \cdot 2}{4}$

Étape 11.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + 3 π \cdot 2}{4}$

Étape 11.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{π + 6 π}{4}$

Étape 11.4.2.5.2

Additionnez $π$ et $6 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Étape 11.4.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{7 π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$