Algèbre Exemples

$f (x) = \log_{3} (\frac{x}{3})$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\log_{3} (x) - 1$ est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 1.2

Comme $\log_{3} (x) - 1$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\log_{3} (x) - 1$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 1.3

Ignorez le logarithme et étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 1.4

Il n’y a pas d’asymptote horizontale car $Q (x)$ est $1$ .

Aucune asymptote horizontale

Étape 1.5

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes verticales : $x = 0$

Aucune asymptote horizontale

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \log_{3} (\frac{1}{3})$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

La base logarithmique $3$ de $\frac{1}{3}$ est $- 1$ .

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez comme une équation.

$\log_{3} (\frac{1}{3}) = x$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $\log_{3} (\frac{1}{3}) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{1}{3}$

Étape 2.2.1.3

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{x} = 3^{- 1}$

Étape 2.2.1.4

Les bases étant les mêmes, les deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = - 1$

Étape 2.2.1.5

La variable $x$ est égale à $- 1$ .

$f (1) = - 1$

Étape 2.2.2

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 2.3

Convertissez $- 1$ en décimale.

$y = - 1$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \log_{3} (\frac{3}{3})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Divisez $3$ par $3$ .

$f (3) = \log_{3} (1)$

Étape 3.2.2

La base logarithmique $3$ de $1$ est $0$ .

$f (3) = 0$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3.3

Convertissez $0$ en décimale.

$y = 0$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 9$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$f (9) = \log_{3} (\frac{9}{3})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

La base logarithmique $3$ de $\frac{9}{3}$ est $1$ .

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Étape 4.2.1.1

Réécrivez comme une équation.

$\log_{3} (\frac{9}{3}) = x$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez $\log_{3} (\frac{9}{3}) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ n’est pas égal à $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{9}{3}$

Étape 4.2.1.3

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{x} = 3^{1}$

Étape 4.2.1.4

Les bases étant les mêmes, les deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$x = 1$

Étape 4.2.1.5

La variable $x$ est égale à $1$ .

$f (9) = 1$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 4.3

Convertissez $1$ en décimale.

$y = 1$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 0$ et les points $(1, - 1), (3, 0), (9, 1)$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 1 \\ 3 & 0 \\ 9 & 1 \end{array}$

Étape 6