Algèbre Exemples

$\log_{2} (2 w^{2}) - \log_{2} (w + 3) = 3$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{2 w^{2}}{w + 3}) = 3$

Étape 2

Réécrivez $\log_{2} (\frac{2 w^{2}}{w + 3}) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{2 w^{2}}{w + 3}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$2 w^{2} = 2^{3} (w + 3)$

Étape 4

Simplifiez $2^{3} (w + 3)$ .

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Étape 4.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$2 w^{2} = 8 (w + 3)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 w^{2} = 8 w + 8 \cdot 3$

Étape 4.3

Multipliez $8$ par $3$ .

$2 w^{2} = 8 w + 24$

Étape 5

Soustrayez $8 w$ des deux côtés de l’équation.

$2 w^{2} - 8 w = 24$

Étape 6

Factorisez $2 w$ à partir de $2 w^{2} - 8 w$ .

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Étape 6.1

Factorisez $2 w$ à partir de $2 w^{2}$ .

$2 w (w) - 8 w = 24$

Étape 6.2

Factorisez $2 w$ à partir de $- 8 w$ .

$2 w (w) + 2 w (- 4) = 24$

Étape 6.3

Factorisez $2 w$ à partir de $2 w (w) + 2 w (- 4)$ .

$2 w (w - 4) = 24$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $2 w (w - 4) = 24$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $2 w (w - 4) = 24$ par $2$ .

$\frac{2 w (w - 4)}{2} = \frac{24}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 w (w - 4)}{2} = \frac{24}{2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $w (w - 4)$ par $1$ .

$w (w - 4) = \frac{24}{2}$

Étape 7.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$w \cdot w + w \cdot - 4 = \frac{24}{2}$

Étape 7.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $w$ par $w$ .

$w^{2} + w \cdot - 4 = \frac{24}{2}$

Étape 7.2.3.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $w$ .

$w^{2} - 4 w = \frac{24}{2}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Divisez $24$ par $2$ .

$w^{2} - 4 w = 12$

Étape 8

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$w^{2} - 4 w - 12 = 0$

Étape 9

Factorisez $w^{2} - 4 w - 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 12$ et dont la somme est $- 4$ .

$- 6, 2$

Étape 9.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(w - 6) (w + 2) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$w - 6 = 0$

$w + 2 = 0$

Étape 11

Définissez $w - 6$ égal à $0$ et résolvez $w$ .

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Étape 11.1

Définissez $w - 6$ égal à $0$ .

$w - 6 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$w = 6$

Étape 12

Définissez $w + 2$ égal à $0$ et résolvez $w$ .

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Étape 12.1

Définissez $w + 2$ égal à $0$ .

$w + 2 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$w = - 2$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(w - 6) (w + 2) = 0$ vraie.

$w = 6, - 2$