Algèbre Exemples

$\frac{p^{2} - 14 p + 40}{16 p^{3}} + \frac{3 p^{2} - 18 p + 24}{2 p^{2} - 4 p}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Factorisez $p^{2} - 14 p + 40$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $40$ et dont la somme est $- 14$ .

$- 10, - 4$

Étape 1.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 p^{2} - 18 p + 24}{2 p^{2} - 4 p}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 p^{2} - 18 p + 24$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 p^{2}$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p^{2}) - 18 p + 24}{2 p^{2} - 4 p}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 18 p$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p^{2}) + 3 (- 6 p) + 24}{2 p^{2} - 4 p}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $24$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 p^{2} + 3 (- 6 p) + 3 \cdot 8}{2 p^{2} - 4 p}$

Étape 1.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 p^{2} + 3 (- 6 p)$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p^{2} - 6 p) + 3 \cdot 8}{2 p^{2} - 4 p}$

Étape 1.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (p^{2} - 6 p) + 3 \cdot 8$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p^{2} - 6 p + 8)}{2 p^{2} - 4 p}$

Étape 1.2.2

Factorisez $p^{2} - 6 p + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 1.2.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 ((p - 4) (p - 2))}{2 p^{2} - 4 p}$

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (p - 2)}{2 p^{2} - 4 p}$

Étape 1.3

Factorisez $2 p$ à partir de $2 p^{2} - 4 p$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $2 p$ à partir de $2 p^{2}$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (p - 2)}{2 p (p) - 4 p}$

Étape 1.3.2

Factorisez $2 p$ à partir de $- 4 p$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (p - 2)}{2 p (p) + 2 p (- 2)}$

Étape 1.3.3

Factorisez $2 p$ à partir de $2 p (p) + 2 p (- 2)$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (p - 2)}{2 p (p - 2)}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $p - 2$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (p - 2)}{2 p (p - 2)}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4)}{2 p}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3 (p - 4)}{2 p}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8 p^{2}}{8 p^{2}}$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4)}{2 p} \cdot \frac{8 p^{2}}{8 p^{2}}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16 p^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{3 (p - 4)}{2 p}$ par $\frac{8 p^{2}}{8 p^{2}}$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{2 p (8 p^{2})}$

Étape 3.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 p \cdot p^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez $p$ par $p^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1

Déplacez $p^{2}$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 (p^{2} p)}$

Étape 3.3.2

Multipliez $p^{2}$ par $p$ .

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Étape 3.3.2.1

Élevez $p$ à la puissance $1$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 (p^{2} p^{1})}$

Étape 3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 p^{2 + 1}}$

Étape 3.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{(p - 10) (p - 4)}{16 p^{3}} + \frac{3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 p^{3}}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(p - 10) (p - 4) + 3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 p^{3}}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Factorisez $p - 4$ à partir de $(p - 10) (p - 4) + 3 (p - 4) (8 p^{2})$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $p - 4$ à partir de $(p - 10) (p - 4)$ .

$\frac{(p - 4) (p - 10) + 3 (p - 4) (8 p^{2})}{16 p^{3}}$

Étape 5.1.2

Factorisez $p - 4$ à partir de $3 (p - 4) (8 p^{2})$ .

$\frac{(p - 4) (p - 10) + (p - 4) (3 (8 p^{2}))}{16 p^{3}}$

Étape 5.1.3

Factorisez $p - 4$ à partir de $(p - 4) (p - 10) + (p - 4) (3 (8 p^{2}))$ .

$\frac{(p - 4) (p - 10 + 3 (8 p^{2}))}{16 p^{3}}$

Étape 5.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(p - 4) (3 \cdot 8 p^{2} + p - 10)}{16 p^{3}}$

Étape 5.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 24 \cdot - 10 = - 240$ et dont la somme est $b = 1$ .

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Étape 5.2.2.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{(p - 4) (24 p^{2} + p - 10)}{16 p^{3}}$

Étape 5.2.2.2

Multipliez par $1$ .

$\frac{(p - 4) (24 p^{2} + 1 p - 10)}{16 p^{3}}$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez $1$ comme $- 15$ plus $16$

$\frac{(p - 4) (24 p^{2} + (- 15 + 16) p - 10)}{16 p^{3}}$

Étape 5.2.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(p - 4) (24 p^{2} - 15 p + 16 p - 10)}{16 p^{3}}$

Étape 5.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(p - 4) ((24 p^{2} - 15 p) + 16 p - 10)}{16 p^{3}}$

Étape 5.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(p - 4) (3 p (8 p - 5) + 2 (8 p - 5))}{16 p^{3}}$

Étape 5.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $8 p - 5$ .

$\frac{(p - 4) ((8 p - 5) (3 p + 2))}{16 p^{3}}$

$\frac{(p - 4) (8 p - 5) (3 p + 2)}{16 p^{3}}$